1.6. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Теорема. Если событие А влечет событие В, то вероятность события А не превосходит вероятности события В.

Пример 1.6.1. Вероятность того, что стрелок при стрельбе по мишени выбьет 10 очков, равна 0,4, 9 очков — 0,3, 8 очков — 0,15, 7 очков — 0,1, 6 очков и менее — 0,05. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков (событие С).

Решение. Искомое событие С произойдёт, если стрелок выбьет или 9 (событие А) или 10 очков (событие В). события А и В несовместные, поэтому

.

Вероятность события В, найденная в предположении, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р_A(В) или Р(В/А). Тогда означает вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А не наступило.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло

.

Теорема умножения вероятностей легко обобщается на случай произвольного числа событий:

,

т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Теорема умножения вероятностей принимает более простой вид, когда события, образующие произведение, независимы.

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого, т.е. или ( ). В противном случае, если или ( ), событие В называется зависимым от А.

Для независимых событий теорема умножения вероятностей для двух и нескольких событий примет вид:

или ,

т.е. вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

.

В случае трех и более совместных событий соответствующая формула весьма громоздка и проще перейти к противоположному событию: . Тогда

.

Если при этом события А, В,..., К — независимые, то

.

В частном случае, если вероятности независимых событий равны, т.е. Р(А) = Р(В) = ... = Р(К) = р, то вероятность их суммы

Р(А+В+...+К)=1 – (1– р)ⁿ.

Пример 1.6.2. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания равны соответственно 0,6 и 0,9. Найти вероятности следующих событий: А – оба стрелка попали в цель; В – в цель попал хотя бы один стрелок.

Решение. Назовем событиями С и D попадание в мишень соответственно первого и второго стрелка и отметим, что С и D являются событиями совместными, но независимыми (иными словами, в мишень могут попасть оба стрелка, а вероятность попадания каждого не зависит от результата другого). Событие А представляет собой произведение событий С и D, т.е. и первый, и второй стрелки попали в цель, поэтому

Событие В является суммой событий С и D. Для определения его вероятности воспользуемся общим видом теоремы сложения:

Для определения его вероятности события В можно воспользоваться и другой формулой: .

.

Пример 1.6.3. Стрелок сделал три выстрела по мишени. Найдите вероятность того, что он попал в мишень ровно два раза, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7.

Решение. Введем обозначения: А_i – попадание в мишень при i-м выстреле (i = 1, 2, 3). Событие А – стрелок попал в мишень 2 раза при 3-х выстрелах.

Тогда А = А₁А₂ + А₁ А₃ + А₂А₃. Так как слагаемые правой части этого равенства попарно несовместны, то по правилу сложения вероятностей имеем:

р(А) =р(А₁А₂ )+ р(А₁ А₃) + р( А₂А₃).

Наконец, учитывая независимость событий А₁, А₂, А₃, по правилу умножения вероятностей получаем:

Р(А) =Р(А₁ ) Р(А₂ ) Р( ) + Р(А₁ ) Р( ) Р(А₃) + Р( ) Р(А₂ ) Р(А₃)=

= .

Пример 1.6.4. Вероятность оплаты в кассе выписанного у продавца чека равна 0,99. Найти вероятность того, что из 100 выписанных чеков хотя бы один окажется неоплаченным.

Решение. Найдём вероятность оплаты в кассе всех выписанных у продавца чеков (событие А)

.

Тогда вероятность того, что хотя бы один из чеков будет неоплачен, равна

.

Задачи

1.71. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Известно, что вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,8. Найдите вероятности того, что:

а) только один из стрелков попадет в мишень;

б) хотя бы один из стрелков попадет в мишень;

в) оба стрелка попадут в мишень;

г) ни один из стрелков не попадет в мишень;

1.72.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р, а для второго – 0,7. Известно, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найдите р.

1.73. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2. Произведены три независимых измерения. Найдите вероятность того, что не более чем в одном измерении допущенная ошибка превысит заданную точность.

1.74. В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу достает 4 детали. Найдите вероятность того, что все взятые детали окрашенные.

1.75. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна . Какова вероятность, купив 5 билетов, выиграть: а) по всем пяти билетам; б) ни по одному билету; в) хотя бы по одному билету?

1.76. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 выбирается одна, а из оставшихся – вторая. Найдите вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) первый раз; б) второй раз; в) оба раза.

1.77. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4 независимых выстрелах равна 0,9984. Найдите вероятность попадания при одном выстреле.

1.78. Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций надо взять, чтобы быть уверенным в выигрыше хотя бы на одну облигацию с вероятностью, большей 0,95?

1.79. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Найдите вероятность того, что ему придется сделать не более чем 2 неудачные попытки.

1.80. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,2. Произведено 10 выстрелов. Найдите вероятность поражения цели, если для этого достаточно хотя бы одно попадание.

1.81. Игра проводится до выигрыша одним из двух игроков 2 партий подряд (ничья исключается). Вероятность выигрыша партии каждым из игроков равна 0,5 и не зависит от исходов предыдущих партий. Найдите вероятность того, что игра окончится до 6 партии.

1.82. Студент успел подготовить к экзаменам 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных вопросов студент знает не менее 2?

1.83. Среди изготовляемых рабочим деталей в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 5 деталей не найдется ни одной бракованной?

1.84. Ящик содержит 90 годных и 10 дефективных деталей. Сборщик последовательно без возвращения достает из ящика 10 деталей. Найдите вероятность того, что среди взятых деталей: а) нет дефектных; б) хотя бы одна дефектная.

1.85. Брошены 2 игральные кости, помеченные номерами 1 и 2. Какова вероятность того, что на первой кости очков будет больше, чем на второй?

1.86. Какое событие более вероятно: событие А «при одновременном бросании 4 игральных костей появится хотя бы одна единица» или событие В –«при 24 бросаниях 2 костей появятся хотя бы один раз 2 единицы»?

1.87. Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найдите вероятность того, что он: а) промахнется все 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза.

1.88. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета равны 0,9; на третий – 0,8. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы; б) хотя бы на 2 вопроса.

1.89. Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,5, можно было надеяться, что хотя бы одни раз появится 12 очков?

1.90. В 2 урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?

1.91. В урне имеется n одинаковых шаров с номерами от 1 до n. Шары извлекаются по одному без возвращения. Найдите вероятность того, что хотя бы при одном извлечении номер шара совпадает с номером опыта.

1.92. В урне 2 белых и 4 черных шара. 2 игрока достают из этой урны поочередно по одному шару, не возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до появления белого шара. Определите вероятность того, что первым достанет белый шар игрок, начинающий игру.

1.93. Трое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше выпадет герб. Определите вероятности выигрыша для каждого из игроков.