1.3. Статистическое определение вероятности события

Есть другой подход при оценке вероятности событий: насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в п произведенных испытаниях

,

где — статистическая вероятность события А; w(А) — относительная частота (частость) события А; т – число испытаний, в которых событие А наступило; п — общее число произведённых испытаний.

Статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной в отличие от вероятности события А Р(А), которая определяется непосредственно, без каких-либо испытаний.

Пример 1.3.1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Следовательно, частота рождения мальчика в такой серии наблюдений равна

.

Задачи

1.17. Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий.

(Ответ: 0,005.)

1.18. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту нормального всхода семян.

(Ответ: 0,98.)

1.19. По цели произведено 30 выстрелов, причем зарегистрировано 18 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.

(Ответ: 0,6.)

1.20. При стрельбе из винтовки частость попадания в цель оказалась равной 0,7. Определить число попаданий, если было произведено 170 выстрелов.

(Ответ: ).

1.21. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,8. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

(Ответ: ).

1.22. Произведя 120 выстрелов, стрелок попал в цель 90 раз. Чему равна статистическая вероятность попадания в цель этого стрелка?

(Ответ: 0,75.)

1.23. Грузовая машина, обслуживающая торговую базу в течение квартала (90 дней) перевозила 20 дней по 18 т, 35 дней по 16 т, 30 дней по 15 т и 5 дней по 5 т. Какова статистическая вероятность перевозки этой машиной более 15 т в день?

(Ответ: 11/18.)

1.4. Геометрическое определение вероятности события

Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай, когда число равновозможных исходов бесконечно.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е.

,

где mes G — мера множества возможных исходов (длина отрезка, площадь или объем области), а mes g —мера множества благоприятных исходов.

Пример 1.4.1. В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.

Решение. В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь круга: S=R², а мерой множества благоприятных исходов — разность площадей круга и треугольника: . Следовательно, вероятность заданного события равна

Задачи

1.24. Точка брошена в круг радиуса R. Найдите вероятность того, что она попадает внутрь данного вписанного квадрата.

(Ответ: .)

1.25. В квадрат с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству y < 2x.

(Ответ: 0,75.)

1.26. Расстояние от пункта А до пункта В автобус проходит за 2 мин, а пешеход – за 15 мин. Интервал движения автобусов 25 мин. Вы подходите в случайный момент времени к пункту А и отправляетесь в пункт В пешком. Найдите вероятность того, что в пути вас догонит очередной автобус.

(Ответ: 0,52.)

1.27. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Найдите вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 1 ч, а второго – 2 ч.

(Ответ: 0,121.)

1.28. В прямоугольник со сторонами 1 и 2 брошена точка А. Найдите вероятности следующих событий: а) расстояние от точки А до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит х; б) расстояние от точки А до любой стороны прямоугольника не превосходит х; в) расстояние от точки А до ближайшей диагонали прямоугольника не превосходит х.

(Ответ: а) б)

в) .)

1.29. В квадрат со стороной а брошена точка А. Найдите вероятность того, что расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от А до ближайшей диагонали.

(Ответ: )