1.2. Классическое определение вероятности события

Численная мера степени возможности наступления события называется вероятностью события.

Если можно пересчитать все возможные исходы проводимого опыта и если ни один из этих исходов не имеет приоритета по сравнению с другими, то говорят, что мы имеем дело со схемой случаев.

Случай называется благоприятствующим событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А.

Под классической вероятностью события А понимается отношение числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев, т.е.

,

где Р(А)— вероятность события А; т — число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А; п — общее число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример 1.2.1. В урне 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?

Решение. Пусть событие А – извлеченный шар окажется белым. Данное испытание имеет 10 равновероятных исходов (так как всего шаров в урне n = 3+7 = 10), из которых для события А благоприятны три (m = 3 – количество белых шаров в урне). Следовательно,

=0,3.

Свойства вероятности события:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. .

2. Вероятность достоверного события равна единице, т.е. Р(А) = 1.

3. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е. Р(А) = 0.

События, вероятности которых очень малы (близки к нулю) или очень велики (близки к единице), называются соответственно практически невозможными или практически достоверными событиями.

Задачи

1.6. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность того, что это число кратно 5?

(Ответ: 0,2.)

1.7. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится четверка.

(Ответ: .)

1.8. В урне a белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?

(Ответ: .)

1.9. В урне a белых и b черных шаров. Из этой урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Какова вероятность того, что этот шар также белый?

(Ответ: .)

1.10. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

(Ответ: 0,1.)

1.11. Наугад выбирают по одной букве из слов «дама» и «мама». Какова вероятность того, что эти буквы: а) одинаковы; б) различны?

(Ответ: а) 0,375; б) 0,625.)

1.12. В ящике 100 деталей, из них 8 не удовлетворяют стандарту. Найти вероятность того, что наудачу вынутая деталь окажется стандартной.

(Ответ: 0,92.)

1.13. При бросании двух игральных костей вычислить вероятность события А — сумма выпавших очков больше их произведения.

(Ответ: 3/28).

1.14. Участники жеребьёвки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлечённого жетона не содержит цифры 5.

(Ответ: 0,81.)

1.15. В книге 205 страниц. Какова вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь номер, оканчивающийся цифрой 3?

(Ответ: 21/205.)

1.16. Бросают наудачу две игральные кости. Найти вероятность того, что на обеих костях сумма выпавших очков будет: а) не менее 4; б) не более 7; в) более 3 и не более 8; г) более двух и не менее 10 очков.

(Ответ: а) 11/12; б) 7/12; в) 25/36; г) 29/36.)