Оценка погрешности косвенного измерения

При косвенном измерении результаты, полученные прямыми измерениями, являются исходными данными для дальнейших вычислений. Погрешности прямых измерений приводят к тому, что окончательный результат также имеет погрешность. Задача оценки погрешности результата косвенного измерения является частным случаем определения статистических характеристик функции от случайных величин.

Пусть величина z, значение которой измеряют косвенным путем, представляет собой дифференцируемую функцию

Z = f (x₁, x₂, …, x_n),

и A₁, A₂, …, A_n – независимые результаты прямых измерений значений x₁, x₂, …, x_n, полученные с абсолютными случайными среднеквадратичными погрешностями ₁, ₂, …, _n, и содержащие абсолютные систематические погрешности s₁, s₂, …, s_n. Тогда результат косвенного измерения, определяемый выражением

A = f (A₁, A₂, …, A_n),

содержит абсолютную систематическую погрешность

,

и характеризуется абсолютной среднеквадратичной случайной погрешностью

,

где - коэффициент корреляции. Установление корреляции между погрешностями в большинстве случаев затруднительно. Обычно, если она есть, полагают _ij = 1; если она отсутствует, то полагают _ij = 0. При этом абсолютная среднеквадратичная случайная погрешность

,

Выражения вида называются частными погрешностями, а входящие в них частные производные – функциями влияния. Когда знаки частных систематических погрешностей s₁, s₂, …, s_n неизвестны, систематическая погрешность результата косвенных измерений находится по формуле

.

Эту погрешность называют предельной.

Обобщенные структурные схемы измерительных приборов

Электрорадиоизмерительные приборы состоят из ряда измерительных преобразователей, устройств сравнения, мер, различных вспомогательных устройств. Сигнал, несущий информацию о значении измеряемой величины, претерпевает ряд преобразований для получения нужного выходного сигнала. Каждое преобразование сигнала можно представить происходящим в отдельном звене. Соединение этих звеньев в определенную цепь преобразований называется структурной схемой.

Для проведения анализа в динамическом режиме каждое звено должно описываться системой дифференциальных уравнений, а в статическом - функцией преобразования.

В зависимости от метода, который реализован в измерительном приборе, различают два основных вида структурных схем: прямого и уравновешенного преобразования.

Отличительная черта структурной схемы прямого преобразования состоит в том, что все преобразования производятся в прямом направлении, т.е. предыдущие величины преобразуются в последующие и отсутствует преобразование в обратном направлении.

К₁

К_т

К₂

…………

U₀₁ U₀₂ U_0n-1 U_0n

Входной сигнал U_вх, несущий информацию об измеряемой величине, последовательно преобразуется в промежуточные величины U₁, U₂, … U_n-1 и выходной сигнал U_вых.

Коэффициент преобразования измерительного прибора

,

при этом U_вых = KU_вх. Погрешности измерения будут зависеть от нестабильности коэффициентов преобразования K_i, дрейфа нуля, помех и наводок U_0i.

Абсолютную погрешность, обусловленную нестабильностью коэффициентов преобразования, найдем по формуле для погрешности косвенного измерения

U_вых = U_вх(K₂K₃…K_nK₁+K₁K₃…K_nK₂+…+K₁K₂…K_n-1Kn),

Откуда следует, что погрешность U_вых является мультипликативной. Относительная мультипликативная погрешность

,

равна сумме относительных погрешностей преобразователей.

Погрешность, обусловленная дрейфом нуля и наводками

U_вых = U₀₁K₂K₃…K_n +U₀₂K₃…K_n +…+U_0n ,

является аддитивной. Как следует из полученных соотношений, в измерительных приборах со структурной схемой прямого преобразования происходит суммирование погрешностей, вносимых отдельными звеньями. Для достижения высокой точности прибора требуется высокая точность характеристик отдельных звеньев.

Преобразователи уравновешивающего преобразования представляют собой преобразователи, охваченные отрицательной обратной связью

Возможны два режима работы - неполного и полного уравновешивания.

В режиме неполного уравновешивания коэффициент преобразования

Относительная мультипликативная погрешность

,

состоит из суммы двух членов, один из них пропорционален суммарной погрешности всех преобразователей цепи прямого преобразования, а другой - суммарной погрешности преобразователей цепи обратной связи.

При погрешность от нестабильности цепи прямого преобразования уменьшается в раз. Погрешность, обусловленная нестабильностью цепи обратной связи, почти полностью входит в суммарную погрешность. Следовательно, в прямой цепи можно использовать нестабильные активные преобразователи, при условии, что и коэффициент обратного преобразования  был высокостабильным. Заметим, что при этом в уменьшается чувствительность, для сохранения которой необходимо во столько же раз увеличить коэффициент преобразования K. Очевидно, предел увеличения K определяется динамической устойчивостью прибора.

Приведенная к входу аддитивная абсолютная погрешность, обусловленная дрейфом нуля, наводками, порогом чувствительности звеньев

не зависит от глубины обратной связи и не может быть уменьшена. При увеличении глубины ОС будет уменьшаться чувствительность, соответственно возрастать верхний предел входной величины и, соответственно, уменьшаться относительная погрешность.

Таким образом, с учетом приведенных ограничений применение схем уравновешивающего преобразования является действенным путем повышения точности приборов.

В режиме полного уравновешивания сигнал ОС полностью компенсирует входной. Это возможно, если в цепи прямого преобразования имеется интегрирующее звено. При этом

,

и мультипликативная относительная погрешность полностью определяется цепью ОС

Абсолютная аддитивная погрешность почти полностью обусловливается порогом чувствительности, для ее уменьшения необходимо увеличивать коэффициент преобразования прямой цепи.

Классификация и обозначения приборов.

Электронные измерительные приборы и меры электрических величин для них согласно ГОСТ 15094-69 разделены по характеру измерений и виду измеряемых величин на подгруппы, обозначаемые прописными буквами русского алфавита. Например, приборам для измерения напряжения присвоена буква В, приборам для измерения частоты – буква Ч и т.д.

Приборы, входящие в подгруппу, делятся на виды соответственно основной выполняемой функции. Видам присваивается буквенно-цифровое обозначение, состоящее из буквы подгруппы и номера вида. Так, например, вид «Вольтметры переменного тока» обозначается В3, вид «Вольтметры импульсного тока» – В4 и т.д. Полное наименование прибора определяется наименованием вида, к которому прибор относится.

По совокупности технических характеристик и очередности разработок приборы каждого вида разделяются на типы, которым соответствует порядковый номер модели. Таким образом, внутри вида приборы различают по номеру модели.

Обозначение прибора состоит из обозначения вида и номера модели, причем перед последним ставится дефис.

Прописная буква русского алфавита, стоящая после номера модели, указывает на то, что прибор модернизировался. Порядковый номер буквы в алфавите соответствует числу модернизаций. Буква Т свидетельствует, что прибор предназначается для эксплуатации в условиях тропического климата. При модернизации таких приборов буква Т ставится после буквы модернизации.

Еще один дополнительный элемент обозначения введен, чтобы отличать конструктивное исполнение приборов с одинаковыми электрическими характеристиками. В подобных случаях после номера модели через дробь ставится цифра, отмечающая порядковый номер конструктивной модификации.

Обозначение многофункционального (комбинированного) прибора, измеряющего несколько параметров, составляется из обозначения вида, к которому прибор относится по основной выполняемой функции. К буквенному обозначению вида таких приборов добавляют букву К, если в данной подгруппе отсутствует вид «универсальные».

Блоки приборов входят в подгруппу Я. Их обозначение состоит из обозначения вида, к которому относится блок подгруппы Я, с добавлением индекса подгруппы по выполняемой функции.

Применение микропроцессоров в измерительных приборах

Для современного этапа развития контрольно-измерительной техники характерно все более интенсивное и глубокое проникновение в нее микропроцессоров, радикально преобразующих свойства устройств и открывающих новые возможности их применения. Появился новый класс "интеллектуальных" приборов, называемых также "думающими" или "разумными". Радикально изменилась идеология построения приборов. Микропроцессор становится основной частью прибора, что привело к изменению конструктивных и схемных решений, компоновки, управления, включению обработки данных в измерительную процедуру, выполняемую без участия экспериментатора.

Микропроцессорные измерительные приборы характеризуются:

Многофункциональностью - микропроцессорная система, введенная в состав многофункционального прибора, преобразовала его из устройства с жесткой логикой в программно управляемое, функциональные возможности которого определяются хранимыми в ПЗУ программами, что создает гибкость перестройки и обеспечивает многофункциональность.

Повышением точности - достигается за счет автоматической компенсации систематической погрешности (автоматическая установка нуля, самокалибровка и компенсация внутренних шумов перед началом измерений), уменьшения влияния случайных погрешностей за счет автоматического проведения многократных измерений с последующей обработкой результатов, выявлением и исключением грубых погрешностей, выведении на дисплей информации о погрешностях по ходу измерений.

Расширением измерительных возможностей - это, в первую очередь, достигается за счет возможности автоматического проведения и соответствующей обработки результатов серий совокупных и косвенных измерений, которые обычно требуют значительных затрат времени и, главное, постоянного внимания и работы экспериментатора.

Упрощением управления прибором - достигается за счет уменьшения числа органов управления, автоматизированного выбора пределов измерений. Чем "умнее" прибор, тем проще он в управлении.

Возможностью получения математических функций и статистических характеристик измеряемых величин, представлению результатов в удобном виде (графики, таблицы, логарифмические единицы и т.п.).

Возможностью организации измерительных систем - обычно подобные приборы снабжены интерфейсной картой для подключения к стандартной интерфейсной шине (или предусмотрена возможность ее установки).

Миниатюризацией, повышением надежности и экономичности - достигается за счет сокращения числа элементов, их невысокой стоимости и малого энергопотребления.

Электромеханические измерительные приборы

Электромеханические приборы применяют для измерения тока, напряжения, мощности, сопротивления и других электрических величин в цепях постоянного и переменного тока низкой частоты, а также в качестве выходных устройств приборов различного назначения. Они состоят из измерительного механизма, имеющего подвижную и неподвижную части, а также отсчетного устройства, при этом они могут быть показывающими и самопишущими, переносными и щитовыми.

По принципу действия электромеханические измерительные приборы делятся на:

Магнитоэлектрические - основанные на взаимодействии рамки, обтекаемой током, с полем постоянного магнита;

Электромагнитные - основанные на взаимодействии рамки, обтекаемой током, с полем электромагнита;

Ферродинамические - основанные на взаимодействии ферромагнитного сердечника с неподвижной катушкой с током;

Электростатические - использующие силы электрического взаимодействия между подвижными и неподвижными электродами;

Индукционные - основанные на взаимодействии переменных магнитных полей неподвижных катушек с токами, индуцированными ими, в подвижной части механизма.

Компенсация основного вращающего момента, действующего на подвижную часть механизма, в таких приборах осуществляется либо механически (с помощью спиральных или ленточных пружинок), либо электрически (такие приборы называются логометрами), для уменьшения времени успокоения подвижной части применяются успокоители двух типов - магнитоиндукционные и воздушные.

Отсчетное устройство, как правило, состоит из стрелки, жестко скрепленной с подвижной частью механизма, и циферблата, с нанесенной на него шкалой и классом точности.

Измерительные генераторы и синтезаторы частоты

Измерительные генераторы - это экранированные источники электрических сигналов, мощность (напряжение) и степень модуляции которых могут быть фиксированными либо регулируемыми в определенных пределах (ГОСТ 150945-69).

Измерительные генераторы подразделяют на следующие виды:

1. генераторы сигналов низкочастотные - источники гармонических немодулированных или модулированных сигналов инфразвуковых, звуковых и ультразвуковых частот (до 300 кГц):

2. генераторы сигналов высокочастотные - источники гармонических немодулированных и модулированных сигналов высоких (30 кГц - 300 МГц), сверхвысоких частот с коаксиальным выходом (300 МГц - 18 ГГц),

сверхвысоких частот с волноводным выходом (свыше - 6 ГГц):

3. генераторы качающейся частоты (свип-генераторы) - источники гармонических сигналов, частота которых автоматически изменяется в пределах устанавливаемой полосы частот:

4. генераторы импульсов - источники одиночных или периодических видеоимпульсных сигналов, форма которых близка к прямоугольной:

5. генераторы сигналов специальной формы - источники одиночных или периодических видеоимпульсных сигналов, форма которых отлична от прямоугольной:

6. генераторы шумовых сигналов - источники электрических шумовых сигналов, значение спектральной плотности мощности которых или мощность шума в требуемой полосе частот известны.

7. отдельную группу приборов образуют синтезаторы частоты и генераторы с диапазоно-кварцевой стабилизацией частоты.

Для имитации реальных сигналов в генераторах предусмотрена возможность модуляции гармонических колебаний, По виду модуляции генераторы делятся на приборы с синусоидальной АМ и ЧМ, импульсной АМ, ЧМ, ФМ и с однополосной модуляцией.

Выходной уровень мощности (напряжения) может быть калиброванным или некалиброванным. Калиброванный уровень напряжения изменяется от десятых долей вольт до сотых долей микровольт, а мощности - от единиц микроватт до 10^-14 Вт. Выходная мощность генераторов с некалиброванным уровнем может достигать нескольких ватт.

Основными метрологическими характеристиками генераторов гармонических сигналов являются погрешности установки частоты и уровня выходного сигнала, нестабильность частоты, параметры выходного сигнала при модуляции, максимальная выходная мощность на согласованной нагрузке.

Генераторы импульсных сигналов формируют одиночные или парные прямоугольные импульсы с частотой повторения от долей Гц до сотен МГц, длительностью от долей наносекунды до нескольких секунд и амплитудой от единиц милливольт до десятков вольт, при этом допустимые отклонения формы реального импульса от прямоугольного регламентирует ГОСТ 16465-70.

Генераторы сигналов специальной формы создают треугольное и пилообразное напряжения.

Чтобы измерительные генераторы могли входить в состав автоматизированных измерительных комплексов, их оборудуют интерфейсом.

Генераторы сигналов низкочастотные

Обобщенная структурная схема генератора сигналов (рис.) включает задающий генератор, усилитель мощности, выходное устройство и электронный вольтметр.

Задающий генератор - первичный источник гармонических колебаний, обеспечивающий широкие пределы и точность установки частоты, высокую стабильность параметров гармонических колебаний и малый коэффициент нелинейных искажений.

В ЗГ используется три метода генерирования:

1. прямой; 2. биений; 3. электронного моделирования.

Основу ЗГ, реализующего прямой метод, составляет дифференциальный усилитель постоянного тока, охваченный петлей положительной частотно-избирательной связи (обычно мост Вина) и нелинейной отрицательной. Нелинейная отрицательная связь на основе инерционного терморезистора используется для улучшения формы колебаний.

Метод биений заключается в том, что колебания НЧ образуются в результате воздействия на нелинейный элемент двух близких по частоте гармонических колебаний.

ЗГ, реализующие метод биений, обладают широким диапазоном плавной перестройки при постоянном уровне мощности, малым коэффициентом нелинейных искажений, но к первичным генераторам предъявляются повышенные требования к стабильности частоты.

Метод электронного моделирования используют для получения гармонических колебаний инфранизких частот. В этом случае ЗГ представляет собой электронную модель дифференциальных уравнений вида

,

решением которого является функция u(t) = U_msin(_ot+).

Переходя к построению структурной схемы модели, исходное дифференциальное уравнение второго порядка представим эквивалентной системой двух уравнений первого порядка

где:  - вспомогательная переменная;  - постоянный коэффициент. Выполнив интегрирование, приведем эти уравнения к виду, удобному для моделирования:

где  - независимая переменная.

Частота выходных колебаний определяется выражением

,

положив ₁=₂=, С₁ =С₂ =С, R₁ =R₂ =R, R₃ =R₄ , получим .

Таким образом, изменяя коэффициент ослабления аттенюатора , можно плавно изменять частоту выходных колебаний.

Усилитель мощности служит для согласования относительно высокоомного выхода ЗГ с низкоомным входным сопротивлением выходных устройств. Усилитель, как правило, охвачен глубокой отрицательной обратной связью для повышения стабильности характеристик и уменьшения степени нелинейных искажений.

Выходное устройство осуществляет контролируемое ослабление напряжения, поступающего от усилителя, а также обеспечивает согласование измерительного генератора с внешней нагрузкой. Выходное устройство обычно состоит из двух ступенчатых аттенюаторов, включенных последовательно, и трансформатора сопротивлений. Шаг дискретного изменения затухания первого аттенюатора выбирают равным 10 дБ, а второго - 1 дБ. Такое сочетание обеспечивает малую дискретность (1 дБ) и широкие пределы ступенчатого изменения затухания. В качестве аттенюаторов используют специальные резистивные делители напряжения, проградуированные на стандартную нагрузку 600 Ом. Приведение различных сопротивлений реальных нагрузок к стандартному значению осуществляется с помощью трансформатора сопротивлений. Для согласования генератора с нагрузками, сопротивление которых велико, предусмотрена возможность подключения параллельно им встроенного сопротивления 600 Ом. Типовые измерительные генераторы НЧ имеют два выхода: симметричный и несимметричный. Симметричный выход образуют путем соединения средней точки вторичной обмотки трансформатора с корпусом прибора, что способствует снижению уровня синфазной помехи на зажимах нагрузки.

Цифровые генераторы низкочастотные по сравнению с аналоговыми характеризуются более высокими метрологическими характеристиками: высокими точностью установки и стабильностью частоты, малым коэффициентом гармоник (строго синусоидальной формой), постоянством выходного сигнала. Подобные генераторы, получающие все более широкое распространение, удобнее аналоговых в эксплуатации: существенно проще установка требуемой частоты, выше быстродействие, более наглядна индикация. Кроме того, цифровые генераторы открывают возможности автоматической перестройки частоты по заданной программе, применения в сочетании с цифровыми средствами обработки информации.

Работа цифровых генераторов основана на принципе формирования числового кода с последующим преобразованием его в аналоговый гармонический сигнал. Последний аппроксимируется функцией, моделируемой с помощью ЦАП.

Наиболее простой вид аппроксимации - ступенчатая. При этом аппроксимируемое напряжение u(t) =U_msin(t) дискретизируется по времени равномерно с шагом  и в интервале времени  заменяют синусоидальный сигнал напряжением постоянного тока - ступенькой. Таким образом, вместо кривой синусоидальной формы получается ступенчатая кривая, тем лучше аппроксимирующая синусоиду, чем больше число ступенек p = T/, где Т - период. Разложение в ряд Фурье такого сигнала, кроме основной гармоники, содержит ближайшую высшую порядка р-1, что при больших р позволяет просто осуществить высокочастотную фильтрацию. Упрощенная структурная схема устройства имеет вид

Частоту формируемого сигнала при фиксированном числе ступенек регулируют, изменяя шаг дискретизации, что достигается изменением коэффициента деления делителя частоты.

Аппаратурное осуществление ступенчатой аппроксимации при большом числе ступенек сравнительно сложно. Более простое аппаратурное решение достигается при линейно-ступенчатой аппроксимации, принцип которой состоит в следующем. Период аппроксимируемого напряжения разбивают на n крупных ступенек, а внутри каждой крупной формируют m мелких ступенек. Следовательно, при линейно-ступенчатой аппроксимации два формирователя формируют всего n + m ступенек, в то время как при ступенчатой аппроксимации необходимо формировать mn ступенек.

Кроме рассмотренных генераторов источниками низкочастотных сигналов могут служить функциональные генераторы и синтезаторы частот.