Оценка погрешности прямого однократного измерения

Однократные измерения являются наиболее простыми и распространенными.

Погрешность результата прямого однократного измерения оценивается до его выполнения. При этом нужно помнить, что погрешность измерения и погрешность средства измерения не одно и то же. Погрешность результата измерения включает в себя, кроме инструментальной, еще погрешности метода и личную. Все составляющие погрешности такого измерения учитываются на основе анализа априорной информации, источниками которой служат опыт проведения подобных измерений, техническая документация и другие источники. Если до проведения измерений удается установить границу неисключенной систематической погрешности  и среднеквадратическое отклонение  случайной составляющей погрешности, то оценивают их соотношение. При    пренебрегают систематической составляющей и границу погрешности результата считают равной , в особо ответственных измерениях принимают    или   . При  пренебрегают случайной составляющей и граница погрешности результата принимается равной . Если , то границу погрешности результата измерения находят по формуле , где коэффициент 0.8 учитывает малую вероятность того, что систематическая и случайная составляющие одновременно принимают свои граничные значения.

Если ожидаемая погрешность оказывается приемлемой , выполняют измерение, вносят поправки и результат записывают в виде: А , Р = 0.95, где А - результат измерения с учетом необходимых поправок.

В том случае, когда оказывается, что априорная оценка погрешности результата превышает допустимую, изменяют метод или условия измерений, заменяют измерительный прибор, уточняют его метрологические характеристики.

Распространены прямые однократные измерения в нормальных условиях, при которых всеми погрешностями, кроме инструментальной, можно пренебречь. В этом случае анализ составляющих погрешности не проводится, а результат измерения записывается в виде , где  - показание измерительного прибора,  - погрешность, определяемая его классом точности.

Во всех случаях числовые значения результата измерения и показатели его точности должны быть округлены так, чтобы их наименьшие разряды были одинаковы, причем в числовых значениях показателей точности должно быть не более двух значащих цифр.

Оценка погрешности прямого многократного измерения

Многократные измерения позволяют уменьшить случайную составляющую погрешности измерения. Если бы можно было бы найти среднее значение результата отдельного измерения, то случайная составляющая погрешности была бы полностью исключена, так как среднее значение случайной величины есть величина неслучайная. Однако для этого потребовалось бы бесконечное число измерений. На практике оно всегда конечно, и вместо среднего значения, возможно найти лишь его оценку.

Оценки числовых характеристик законов распределения случайных величин (среднего значения, дисперсии и т.п.), изображаемые точкой на числовой оси, называются точечными, а интервалом - интервальными. В отличие от самих числовых характеристик оценки являются случайными величинами, значения которых зависит от числа измерений, а распределение вероятности – от закона распределения вероятности отдельного измерения.

Оценки должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Состоятельность указывает, что при увеличении числа измерений оценка сходится по вероятности к истинному значению оцениваемого параметра.

Несмещенность означает, что математическое ожидание оценки равно истинному значению параметра.

Эффективность означает, что дисперсия данной оценки меньше дисперсии любой другой оценки.

Перечисленным требованиям удовлетворяет такая точечная оценка среднего значения, как среднеарифметическое.

,

где a_i - результат отдельного измерения с учетом поправок; N - число измерений.

Дисперсия среднеарифметического в N раз меньше дисперсии отдельного измерения.

Следовательно, если за действительное значение измеряемой величины, которое используется на практике вместо истинного, принять среднеарифметическое, то его среднеквадратическое отклонение будет в N раз меньше среднеквадратического отклонения отдельного измерения.

Среднеквадратическое отклонение  и среднее значение отдельного измерения нельзя определить экспериментально. При конечном числе измерений можно найти лишь состоятельную несмещенную эффективную оценку СКО

,

откуда следует точечная оценка СКО результата многократного измерения

,

таким образом, увеличивая N, случайную составляющую погрешности многократного измерения можно сделать пренебрежимо малой . Такой прием называется фильтрацией случайной составляющей погрешности.

Числовые значения и качество точечных оценок зависят от N. Поэтому при записи результата многократного измерения число N указывается обязательно, например, A; s_A; N; . Форма записи результата многократного измерения регламентирована ГОСТ 8.207-76. Этим же стандартом предусмотрена возможность интервальной оценки погрешности результата многократного измерения.

Интервальная оценка погрешности состоит в указании доверительного интервала, в котором измеряемая величина находится с доверительной вероятностью. За середину интервала принимается среднее арифметическое. Если число измерений велико (N  30), то распределение случайной погрешности подчиняется нормальному закону

,

и границы доверительного интервала t по заданной доверительной вероятности  находят из соотношения t, где t - интеграл вероятностей (нормальная функция распределения t = F(t) -1/2), значения которого табулированы.

При малом числе измерений распределение случайной погрешности подчиняется распределению Стьюдента, значения которого также табулированы.

Результат измерения записывается в виде A  ; , где погрешность  определяется соотношением между систематической и случайной погрешностями аналогично однократному измерению.

Понятие о доверительном интервале используется для идентификации грубых погрешностей. Если результат отдельного измерения выходит за пределы доверительных границ, то это нарушение статистической закономерности с принятой доверительной вероятностью можно интерпретировать как проявление грубой погрешности. Такой результат должен быть отброшен, а расчеты повторены заново. При N  30 всегда отбрасывают результаты отдельных измерений, отличающиеся от среднеарифметического больше чем на , так как вероятность их закономерного появления не превышает 0,003. Это правило носит названия правила трех сигм.