II. Контрольные вопросы и задания
1.Дайте определение сложной функции.
2. Какая функция является обратимой?
3. Как найти обратную функцию?
4. Какие свойства взаимно обратных функций вы знаете?
III. Практические задания
1.Выразить у как функцию от х:
а)
z = x6;
б)
y = lg z,
z = x4;
в)
y = 2 + z2,
z = cos
v,
v = x3;
г)
y = sin 2z,
,
v =
3x.
2. Суперпозицией каких простейших элементарных функций может быть получена функция:
а) y = sin 2 x; б) y = ln tg x;
в)
;
г)
?
3.Даны
функции f (x) = x2 – 2x,
Найти:
а)
;
б)
;
в)
f (f (1));
г)
.
4.
Определяется ли соотношениями
y = arcsin t,
сложная функция y = f (x)?
5. Определяется ли соотношениями y = ln t, t = sin x 1 сложная функция y = f (x)?
6.
Функция
y = f (u)
определена на промежутке u > 4.
Найти области определения функций: а)
f (1
– x);
б)
f (x2),
в)
f 
;
г) 
.
7. Найти обратную функцию y = g (x) для функции:
а)
f (x) = x2 + 1,
x
0;
б)
f (x) =
x2 + 2x + 3,
в)
f (x) = e
x – 1; г)
д)
.
Построить графики функций y = f (x) и y = g (x).
8. Вычислить arcsin sin 2.
9. Построить графики функций:
а) y = cos arcos x; б) y = arccos cos x;
в) y =[ x2]; г) y = sgn log2 ;
д)
; е)
y = sgn cos x.
Предел функции
I. Примеры решения задач
Пример 1. Доказать, используя определение предела функции, что lim;\s\do8(x → 2 = 3.
Решение. Используем определение предела функции по Коши. Выберем произвольным образом e > 0. Найдем такое δ > 0 ( δ зависит от e), чтобы для всех х, удовлетворяющих неравенству | x –2| < δ, выполнялось бы неравенство |– 3 | < e ( * ).
По определению модуля:
| – 3 | < e ó – e < – 3 < e ó
ó 3 – e < < 3 + e.
Так как все части данного неравенства при достаточно малом e являются положительными, то неравенство можно возвести в квадрат:
( 3 – e )2 < 11 – x < ( 3 + e )2 ó – ( 6e + e2) < x – 2 < 6e – e2 ( ** )
Выберем в качестве δ (e) число δ = 6e – e2. Очевидно, что при всех х, удовлетворяющих неравенству | x – 2 | < δ, выполняется неравенство ( ** ), а, следовательно, и неравенство (*). Т.е. выполняется определение Коши предела функции. Следовательно, lim;\s\do8(x → 2 = 3.
Пример 2. Доказать, что lim;\s\do8(x → 0 x sin = 0.
Решение. Воспользуемся определением Гейне предела функции. Рассмотрим произвольную последовательность {xn} → 0 ( xn ¹ 0 ) и, соответствующую ей последовательность значений функции {xn sin }. Эта последовательность является бесконечно малой ({xn} – бесконечно малая, {sin } ограниченная ). Следовательно, по определению предела функции по Гейне, lim;\s\do8(x → 0 x sin = 0.
Пример 3. Доказать, что функция Дирихле
не имеет предела ни в одной точке.
Решение.
Докажем,
что в произвольной точке а
функция
D (x) не
удовлетворяет определению предела
функции по Гейне. Для этого укажем две
последовательности {xn}
и
,
сходящиеся к точке а,
и такие, что
.
Сначала
рассмотрим последовательность {xn} а,
элементами которой являются рациональные
числа. Тогда, для любого n,
= 1,
следовательно,
= 1.
Теперь
рассмотрим последовательность
а,
элементами которой являются иррациональные
числа. Тогда, для всех n,
= 0,
следовательно,
= 0.
Таким образом, . Отсюда следует, что предел функции D (x) в точке а не существует.
Пример
4.
.
Доказать,
что
.
Решение.
По
определению
,
если для любого М > 0
можно подобрать
> 0,
так, что для всех значений х 
а,
удовлетворяющих
условию | x
– а| <
δ,
будет выполняться неравенство |f (x)| > M.
В нашем случае по заданному М > 0
будем подбирать δ
из условия |f (x)|
> M,
или | x
–1| <
.
Следовательно, положив δ =
,
получим, что для всех значений х,
удовлетворяющих условию |x –1| <
δ,
выполняется неравенство |f (x)| > M.
Значит,