II. Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте определение предела последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию этого определения.
2. Сформулируйте определение расходящейся последовательности и дайте геометрическую интерпретацию этого определения.
3. Пусть последовательность {xn} сходится. Если удалить (добавить) конечное число членов последовательности, то будет ли полученная последовательность сходящейся?
4. Пусть последовательность {xn} ограничена. Следует ли из этого условия, что последовательность {xn} сходится?
5. Существуют ли последовательности имеющие два различных предела?
6. Перечислите свойства предела последовательности.
7. Пусть последовательности {xn} и { yn } сходятся. Являются ли сходящимися сумма, разность, произведение, частное этих последовательностей?
8. Пусть в некоторой окрестности точки а лежит бесконечное число членов последовательности {xn}. Следует ли из этого условия, что lim;\s\do6(n → (xn = a?
9. Пусть lim;\s\do6(n → (xn = a, а 0. Может ли последовательность иметь бесконечное число отрицательных (равных нулю) членов, если а > 0?
III. Практические задания
1.
Используя определение предела
последовательности, доказать что: а)
lim;\s\do6(n →
(
= 2,
б)
lim;\s\do6(n →
(
= 1,
в)
lim;\s\do6(n →
(
= 0.
2. Найти следующие пределы:
а)
lim;\s\do6(n →
(
;
б)
lim;\s\do6(n →
(
;
в)lim;\s\do6(n
→ (
;
г)
lim;\s\do6(n →
(
;
д)lim;\s\do6(n
→ (
; е)
lim;\s\do6(n →
(
;
ж)lim;\s\do6(n
→ (
;
з)lim;\s\do6(n
→ (
;
и)
lim;\s\do6(n →
(
; к) lim;\s\do6(n
→ (
.
Предельные точки последовательности
I. Примеры решения задач
Пример 1. Доказать, что последовательность {(1)n} расходится.
Решение. Рассмотрим две подпоследовательности данной последовательности: {x2n} {1} и {x2n + 1} {1}. Так как lim;\s\do6(n → (x2n= 1, а lim;\s\do6(n → (x2n + 1 = 1, то последовательность {(1)n} имеет две предельные точки: 1 и 1. Следовательно, последовательность {(1)n} расходится.
Пример 2. Найти
а) все предельные точки последовательности {sin n°};
б) верхний и нижний пределы этой последовательности.
а) Учитывая свойства функции y = sin x, получаем, что при любом натуральном n данная функция принимает одно из 181 значений: 0. sin 1°, ± sin 2°, ± sin 3°, … , ± sin 89°, ± 1. При этом, каждое из этих чисел встречается в последовательности бесконечное число раз. Следовательно, каждое указанное число является предельной точкой последовательности {sin n°}. Других предельных точек последовательность не имеет.
б) Из указанных 181 предельных точек наименьшей является 1, а наибольшей 1. Значит \s\up10((sin n° = 1, lim;\s\do6((sin n° = 1.
II. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение подпоследовательности числовой последовательности.
2. Дайте определение предельной точки числовой последовательности, верхнего и нижнего пределов последовательности.
3. Последовательность {xn} имеет две подпоследовательности, сходящиеся к различным пределам. Сходится ли последовательность {xn}?
4. Может ли бесконечно большая последовательность иметь сходящуюся подпоследовательность?
5. Доказать, что любая расходящаяся последовательность имеет бесконечно большую подпоследовательность.
6. Если последовательность {xn} имеет единственную предельную точку, является ли последовательность сходящейся?