Действительные числа и их свойства

I. Примеры решения задач

Пример 1. Определить, какие из нижеперечисленных бесконечных десятичных дробей выражают рациональные числа, какие – иррациональные, и записать рациональные числа в виде обыкновенных дробей: а) 1,(28); б) 2,41(7); в)3,1(9); г) 0,202202220… .

Решение. Согласно правилу преобразования бесконечных десятичных периодических дробей в обыкновенные, имеем:

а) 1,(28) =   ;

б) 2,41(7) = 

в) 3,1(9) = 3,2;

г) десятичная дробь 0,202202220… – инепериодическая, следовательно, она выражается иррациональным числом.

Пример 2. Доказать, что не существует такого рационального числа, что r² = 2.

Решение. Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что число r рациональное. Тогда существует такая несократимая рациональная дробь , где m и n – взаимно простые натуральные числа, что r =  . Возведем обе части данного равенства в квадрат, тогда = 2 или m² = 2n². Значит, m – число четное: m = 2k (k – натуральное число). Тогда n² = 2k², следовательно, n – четное число. Это противоречит предположению, что m и n – взаимно простые натуральные числа.

Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.

Пример 3. Доказать, что если r – рациональное число (r  ), а  – иррациональное число, то число – иррациональное.

Решение. Пусть . Предположим, что рациональное число. Тогда число должно быть рациональным, так как частное двух рациональных чисел есть число рациональное. Получаем противоречие. Следовательно, число – иррациональное.

II. Контрольные вопросы и задания

1. Какие числа называются натуральными, рациональными, иррациональными, действительными?

2. Что такое обыкновенная дробь?

3. В чем состоит различие бесконечных десятичных дробей, представляющих рациональные и иррациональные числа?

4. Сформулируйте правило перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.

5. Перечислите свойства рациональных чисел.

6. Дайте определение иррационального числа.

7. Сформулируйте теорему Дедекинда.

III. Практические задания

1. Записать число в виде бесконечной десятичной дроби: а) 3; б) ; в)  ; г) .

2. Какие из данных обыкновенных дробей можно записать в виде конечных десятичных дробей: а) ; б) ; в) ; г) ?

3. Записать число в виде обыкновенной дроби: а) 0,(354); б) 0,5(36); в)  4,15(182).

4. Укажите, какие из данных чисел являются рациональными: а)  ; б)  ; в)  ; г)  .

5. Докажите, что не существует рационального числа r такого, что: а) r² = 3; б) r² = 5; в) r³ = 3; г) r = log₂5; д) r = log₃2.

6. Указать два иррациональных числа, таких что: а) их сумма рациональна; б) их разность рациональна; в) их произведение рационально.

7. Пусть r – рациональное число, – иррациональное число. Докажите, что сумма этих чисел иррациональна.

8. Пусть и – иррациональные числа, – рациональное число. Докажите, что числа , – иррациональные.

Грани числовых множеств

I. Примеры решения задач

Пример 1. Доказать, что множество чисел Е =  ограничено. Найти точную верхнюю и точную нижнюю грани множества (sup E, inf E).

Решение. Оценим выражение . Так как  =  , то . Следовательно, множество Е ограничено.

Покажем, что inf E =  . Для этого воспользуемся определением точной нижней грани множества. Покажем, что выполняются условия:

1) ;

2) .

1) Докажем, что . Это равносильно неравенству 2(n² + 1) 2n². Последнее неравенство является верным для всех натуральных n, значит, первое условие доказано.

2) Возьмем любое . Решим неравенство . Преобразуем левую часть неравенства: или . Отсюда получаем, что . При данное неравенство верно.

Следовательно, inf E =  .

Покажем, что sup E = 1.

1. Вначале докажем, что для всех натуральных чисел выполняется:  =  Это неравенство равносильно неравенству или неравенству . Последнее неравенство справедливо при всех натуральных числах. Значит, число М = 1 является верхней гранью множества.

2. Поскольку при n = 1 выполняется равенство , т.е. , то число М = 1 является точной верхней гранью.

Пример 2. Доказать, что множество чисел Е =  неограничено сверху.

Решение. Пусть М – любое действительное число. Докажем, что найдется натуральное число n такое, что будет выполняться неравенство .

Решаем данное неравенство. Получаем: 2n² + 3 > Mn + M или 2n² –Mn + (3  M) > 0. Очевидно, что данное неравенство выполняется при , а это и означает, что множество Е неограниченно сверху.