II. Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте теорему о пределе суммы, произведения и частного двух функций.
2. Какие виды неопределенных выражений вы знаете?
3.
Пусть
,
.
Чему равны пределы: а)
б)
в) 
г) 
д) 
е) 
4. Как записываются первый и второй замечательные пределы?
III. Практические задания
Найти:
1.
;
2.
;;
3.
4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
;
11.
; 12.
;
13.
; 14.
;
15.
; 16.
;
17.
; 18.
;
19. 
; 20. 
;
21.
; 22. 
;
23. 
; 24. 
;
25.
; 26. 
27. 
;
28. 
;
29. 
; 30.
;
31.
; 32.
;
33.
; 34.
;
35.
; 36.
;
37.
; 38. 
;
39. 
; 40.
;
41.
;
42. 
.
Сравнение бесконечно малых функций
I. Примеры решения задач
Пример 1. Доказать, что tg x ~ x при х ® 0.
Решение. Рассмотрим
=
= 
= 1.
Следовательно, tg x ~ x при х ® 0.
Пример 2. Даны две бесконечно малые при х ® 0 функции ( х) = x2sin 2 x и ( х) = x tg x . Доказать, что (х) = о( (х)).
Решение. Так как
= 
= 
=
0,
то функция (х) является бесконечно малой более высокого порядка, чем функция ( х), т.е. (х) = о( (х)).
Пример 3. Найти lim;\s\do8(x → 2, используя эквивалентные бесконечно малые функции.
Решение. Так как tg x ~ x при x → 0, то tg (x – 2) ~ (x – 2) при x → 2. Следовательно:
lim;\s\do8(x → 2 = lim;\s\do8(x → 2 = lim;\s\do8(x → 2 = .
II. Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение бесконечно малой функции при х ® а.
2. Какие бесконечно малые функции при х ® а называются бесконечно малыми функциями одного порядка, высшего порядка, эквивалентными при х ® а?
3. Приведите примеры эквивалентных бесконечно малых функций.
4. Каким образом эквивалентные бесконечно малые функции используются при вычислении пределов функций?
III. Практические задания
1. Какие из следующих пар функций являются эквивалентными при х ® 0:
а)
f(x) = sin2
x2,
g(x) = x4;
б) f(x) = 
,
g(x) = x;
в)
f(x) = 1 – cos x,
g(x) = x2;
г) 
,
g(x) = x.
2. Определить, какие из нижеследующих функций при х ® 0 будут бесконечно малыми одного порядка, высшего порядка, низшего порядка по сравнению с х:
а)
;
б) 
;
в) 
;
г)
f (x) = cos 5x – cos 3x;
д) f (x) = cos2 x – cos x;
е) 
.
3. Вычислить пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции:
а)
;
б) 
;
в) 
;
г)
.
Односторонние пределы. Непрерывность функции
I. Примеры решения задач
Пример
1.
Найти
односторонние пределы функции
в точке х = 1.
Существует
ли предел функции в точке х = 1?
Решение.
Найдем
правый предел функции
в точке х = 1.
Для этого вначале рассмотрим функцию
.
Так как
при х
1+0
(при х
1
справа) функция x 1
0, все время оставаясь больше нуля, т.е.
x 1 +0
, то, lim;\s\do8(х
→ 1 + 0z =
lim;\s\do8(х → 1 + 0
= +∞.
Тогда, lim;\s\do8(х
→ 1 + 0
= lim;\s\do8(z
→ + ∞
= 
.
Аналогично находим левый предел функции:
lim;\s\do8(х → 1 ( 0 = lim;\s\do8(z → ( ∞ = .
Так
как lim;\s\do8(х → 1 ( 0
lim;\s\do8(х
→ 1 + 0
,
то предел функции
в точке х = 1
не существует.
Пример
2.
Функция
не
определена в точке х = 1.
Используя
определение функции непрерывной в
точке, доопределить данную функцию в
точке х = 1
так, чтобы она стала непрерывной.
Решение. Найдем предел функции в точке х = 1:
Combin
= 
= Combin
= Combin
= 3.
Доопределим значение функции в точке х = 1 так, чтобы f (1) = 3. В этом случае функция будет задаваться следующим образом:
Так как Combin y = Combin = 3 = y (3), то, по определению, данная функция непрерывна в точке х = 1.
Пример 3. Исследовать функции
а)
; б)
на непрерывность и определить характер точек разрыва.
Решение.
а)
Для
нахождения области определения функции
решим
уравнение х2 5х + 6 = 0.
Корнями этого уравнения являются точки
х1 = 2,
х2 = 3.
Следовательно, функция
определена
на интервалах (∞, 2) 
( 2,
3)
(3, +∞).
Так как эта функция является элементарной,
то она непрерывна на этих интервалах.
Точки х = 2 и х = 3 точки разрыва функции.
Определим характер точки х = 2. Для этого найдем левый и правый пределы функции в данной точке:
lim;\s\do8(х
→ 2 + 0
= lim;\s\do8(х
→ 2 + 0
= + ∞,
Combin = Combin = ∞.
Следовательно, точка х = 2 точка разрыва второго рода.
Рассмотрим точку х = 3. Найдем предел функции в этой точке.
lim;\s\do8(х
→ 3
= 
= lim;\s\do8(х
→ 3
= lim;\s\do8(х
→ 3
= 6.
Так как в точке х = 3 существует предел функции, а функция в этой точке не определена, то х = 3 точка устранимого разрыва. Как показано в примере 2, в точке устранимого разрыва функцию можно доопределить до непрерывной.
б) Областью определения функции является вся числовая прямая. Данная функция будет элементарной на интервалах (∞, 0), (0, ) и ( , +∞), следовательно, она непрерывна на этих интервалах. Точками возможного разрыва являются точки х = 0 и х = .
Найдем левый и правый пределы функции в точке х = 0:
Combin f (х) = Combin(х + 1) = 1,
lim;\s\do8(х → + 0 f (х) = lim;\s\do8(х → + 0tg х = tg 0 = 0,
так как Combin f (х) lim;\s\do8(х → + 0 f (х) , то данная точка это точка разрыва первого рода (скачок).
Найдем левый и правый пределы функции в точке х = :
lim;\s\do16(х → \F((;2 f (х) = lim;\s\do16(х → \F((;2tg х = ∞,
lim;\s\do16(х → \F((;2 f (х) = lim;\s\do16(х → \F((;21 = 1,
так как левый предел функции равен ∞, то точка х = точка разрыва второго рода.