II. Предел последовательности
§ 2.1. Числовые последовательности
1. Определение числовой последовательности. Ограниченная и неограниченная числовые последовательности
Определение 1. Если каждому числу n N ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число xn, то бесконечное множество занумерованных действительных чисел мы будем называть числовой последовательностью.
Числа xn называются элементами или членами последовательности.
Обозначение: {xn} или x1, x2, …, xn, … .
Основные способы задания числовых последовательностей:
с помощью перечисления элементов: x1, x2, …, xn,…;
с помощью задания формулы n-го члена: {xn};
с помощью описания закона, по которому элементы последовательности подбираются.
Примеры последовательностей:
{1} 1, 1, 1, ….;
{n} 1, 2, 3, …;
1,
,
,
…,
,
…;{(1 + (-1)n)n} = 0, 4, 0, 8, ….
Пусть
заданы две произвольные последовательности
{xn}
и {yn}.
Тогда суммой
последовательностей
{xn}
и {yn}
называется последовательность {xn + yn},
элементы которой равны сумме соответствующих
элементов данных последовательностей;
произведением
последовательностей
{xn}
и
{yn}
называется последовательность вида
{xn
yn},
разностью
– {xn
yn},
частным
–
,
(в случае частного для элементов
последовательности {yn}
выполняется неравенство yn
0).
Так как последовательность является бесконечным упорядоченным множеством действительных чисел, то определения ограниченных и неограниченных последовательностей вводится аналогично таким же определениям из теории множеств.
Определение 2. Последовательность {xn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое действительное число M (m), что для всех элементов xn {xn}, выполняется неравенство xn M (xn m).
При этом число М называется верхней границей последовательности, число m – нижней границей.
Очевидно, что любое действительное число M ´ > M также является верхней границей последовательности {xn}. Любое действительное число m´ < m является нижней границей последовательности {xn}.
Определение 3. Число М* (m*)называется точной верхней (точной нижней) гранью последовательности {xn}, если
для всех элементов xn {xn}, выполняется неравенство xn М* (xn m*);
для любого > 0 существует такой номер N, что для элемента xN выполняется неравенство xN + М* ( xN m*).
Обозначение: М* = sup {xn} ( m* = inf {xn}).
Определение 4. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.
Иными словами, последовательность называется ограниченной, если существуют такие действительные числа m и M, что для любых элементов xn {xn} выполняется неравенство m xn M. Можно сказать также, что последовательность называется ограниченной, если существует такое действительное число А > 0, что для любых элементов последовательности выполняется неравенство |xn| < A (A = max {|m|, |M|}).
Для ограниченных последовательностей справедливы теоремы 2 и 3 § 1.2.
Определение 5. Последовательность называется неограниченной сверху (снизу), если для любого действительного числа M (m), существует элемент последовательности xn, что xn > M (xn < m).
Если последовательность неограниченна или сверху или снизу, то она называется неограниченной.
Определение 6. Последовательность {xn} называется возрастающей, если каждый последующий элемент последовательности больше предыдущего, т.е. для всех элементов последовательности выполняется неравенство xn < xn+1; последовательность {xn} называется убывающей, если для всех элементов последовательности выполняется неравенство xn > xn+1; последовательность {xn} называется неубывающей (невозрастающей), если для всех элементов последовательности выполняется неравенство xn xn+1 (xn xn+1).
Последовательности этих четырех типов называются монотонными.
Например, последовательность {1} является постоянной последовательностью. Эта последовательность ограничена. Точная верхняя и точная нижняя границы этой последовательности совпадают: inf {1} = sup {1} = 1.
Последовательность {n} монотонно возрастающая и ограничена снизу любым числом т 1, inf {n} = 1. Эта последовательность неограниченна сверху.
Например, последовательность ограничена: inf = 0, sup = 1. Эта последовательность монотонно убывающая.