§ 1.2. Множество действительных чисел

1. Определение иррационального числа. Сечение Дедекинда

Введем понятие иррационального числа, основываясь на теории Дедекинда.

Рассмотрим разбиение множества Q рациональных чисел на два непустых подмножества А и А. Предположим, что:

а) каждое рациональное число принадлежит одному и только одному множеству А или А;

б) каждое число а А меньше каждого числа а  А.

Такое разбиение множества рациональных чисел будем называть сечением. Множество А называется нижним классом сечения, множество А  верхним классом сечения.

Обозначение: А | А.

Из определения сечения следует, что каждое рациональное число меньшее числа а нижнего класса, также принадлежит нижнему классу, каждое рациональное число большее числа а верхнего класса, также принадлежит верхнему классу.

Примеры. Рассмотрим примеры сечений множества рациональных чисел.

1) А = {a | a  R, a < 1}, A = {a | a  R, a  1}.

Легко видеть, что число 1 является наименьшим в верхнем классе сечения А, нижний класс А не имеет наибольшего.

2) A = {a | a  A, a  1}, A = {a | a  A, a > 1}.

Для этого разбиения в верхнем классе нет наименьшего элемента, а в нижнем классе наибольшим элементом является единица.

3) A = {a | a  Q, a  0}  {a | a  Q, a > 0, a² < 2},

A = {a | a  Q, a > 0, a² > 2}.

Множество А не имеет наибольшего элемента, а множество А  наименьшего.

Докажем, что в классе А нет наибольшего элемента. Выберем произвольное положительное число а  А, тогда а² < 2. Докажем, что существует натуральное число n такое, что выполняется неравенство < 2, или a² + 2 + < 2.

Тогда 2 + < 2 – a². Так как 2 + < 2 + = , то достаточно выбрать n так, чтобы выполнялось неравенство < 2 – a², или n > . По свойству 13 рациональных чисел (см. п.2, § 1.1) такое число существует. Достаточно взять, например, n =  + 1, чтобы число a + удовлетворяло неравенству < 2. Следовательно, a + принадлежит классу А. Но a + > a. Поэтому для любого элемента а из класса А найдется элемент a + > а, а это значит, что в классе А не существует наибольшего элемента.

Аналогично доказывается, что класс А не имеет наименьшего элемента.

Очевидно, что не существует сечения, у которого верхний класс имеет наименьший элемент, а нижний класс  наибольший.

Итак, сечения множества рациональных чисел бывают трех типов.

1. В нижнем классе А нет наибольшего элемента, в верхнем классе А есть наименьший элемент.

2. В нижнем классе А есть наибольший элемент, в верхнем классе А нет наименьшего элемента.

3. В нижнем классе А нет наибольшего элемента, в верхнем классе А нет наименьшего элемента.

В первых двух случаях говорят, что сечение производится рациональным числом r. В третьем случае говорят, что сечение не определяет никакого рационального числа. Число, определяемое этим сечением, называется иррациональным. В примере 3) сечение определяет иррациональное число  = .

Рациональные и иррациональные числа получили общее название – действительные числа.

Действительные числа обозначаются буквой R.