§ 4.4 Производные и дифференциалы высших порядков

1. Производные высших порядков

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀. Тогда f ´(x) представляет собой функцию, определенную в этой же окрестности. Пусть функция y = f ´(x) дифференцируема в точке х₀. Тогда производную функции  f ´(x) называют второй производной (производной второго порядка) функции y = f (x) в точке х₀.

Обозначение: f ´´(x₀), y´´(x₀), .

Третья производная определяется как производная от второй производной и обозначается следующим образом: f ´´´(x₀), y´´´(x₀), .

Если функция y = f (x) имеет (n1)-ю производную в окрестности точки х₀, которая дифференцируема в точке х₀, то производная от (n1)-ой производной функции y = f (x) называется n-ой производной данной функции и обозначается одним из следующих символов: f ⁽ⁿ⁾(x₀), y⁽ⁿ⁾(x₀), .

Таким образом, производные высших порядков определяются по формуле

y⁽ⁿ⁾(x) = [y^{(n  1)}(x)]´.

Функция, имеющая n-ую производную в точке х₀, называется n раз дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая в точке х₀ производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке.

Пример 1. Найти производную второго порядка функции y = ln(x + ).

Решение.

Найдем первую производную функции y = ln(x + ).

(ln(x + ))´ = =

= = = .

(ln(x + ))´´ = =  .

Пример 2. Найти производную функции y = a^x n-ого порядка.

Решение.

Последовательно дифференцируя функцию y = a^x , получим

y´ = a^x lna;

y´´ = (a^x lna)´ = lna a^x lna = a^x ln²a;

…………………….

y⁽ⁿ⁾ = a^x lnⁿa.

В частности, (е^х) ⁽ⁿ⁾ = е^х.

Установленные в § 4.1 правила нахождения производных суммы или разности двух функций легко переносятся на случай производной n-ого порядка: (u  v)⁽ⁿ⁾ = u ⁽ⁿ⁾  v ⁽ⁿ⁾.

Для вычисления n-ой производной произведения двух функций часто удобно пользоваться правилом, которое носит название формулы Лейбница и имеет следующий вид:

(uv)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ v + C u^(n  1) v´ + C u^(n  2) v´´+ C u^(n  3) v´´´ + …+ uv⁽ⁿ⁾,

где C = . (1)

Пример 2. Найти у ⁽ⁿ⁾, если у = х²е^3х.

Решение.

Воспользуемся формулой (1), где u = е^3х, v = х². Получим

(х²е^3х) ⁽¹⁰⁾ = х²(е^3х) ⁽¹⁰⁾ + C (х²)´(е^3х) ⁽⁹⁾ + C (х²)´´(е^3х) ⁽⁸⁾ +

+ … + (х²) ⁽¹⁰⁾е^3х.

Так как (х²)´ = 2х, (х²)´´ = 2, (х²)´´´ = 0, …, (х²) ⁽¹⁰⁾ = 0, т.е. все производные функции v = х² кроме первой и второй равны нулю, то ненулевыми слагаемыми в формуле Лейбница для функции у = х²е^3х будут только первые три слагаемых. Найдем

(е^3х)⁽¹⁰⁾ = 3¹⁰ е^3х, (е^3х)⁽⁹⁾ = 3⁹ е^3х, (е^3х)⁽⁸⁾ = 3⁸ е^3х,

C = = = 10, C = = = 45,

и подставим в формулу. Получим

(х²е^3х) ⁽¹⁰⁾ = х²е^3х3¹⁰ + 10·2х²е^3х3⁹ + 45·2е^3х3⁸ = 3⁹ е^3х(3х² + 20х + 30).

2. Дифференциалы высших порядков

Пусть х  независимая переменная и функция y = f (x)  дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки х₀. Тогда первый дифференциал функции dу = f ´(x) dх, в свою очередь, является функцией двух переменных х и dх. Предположим, что функция f ´(x) также дифференцируема в точке х₀ и что величина dх имеет одно и то же фиксированное значение для всех точек рассматриваемой окрестности. Тогда существует дифференциал функции dу = f ´(x) dх в точке х₀, который, учитывая, что dх считается постоянной величиной, можно найти следующим образом:

d(df(x₀)) = d(f ´(x₀) dх) = d(f ´(x₀))  dх= f ´´(x₀) dх dх = f ´´(x₀) dх².

Дифференциал от дифференциала функции f (x) в точке х₀, найденный таким образом, называется вторым дифференциалом функции.

Обозначение: d ²f(x₀), d ²y.

Второй дифференциал функции находится по формуле

d ²f(x₀) = f ´´(x₀) dх².

Аналогично находится дифференциал третьего порядка функции в точке х₀:

d ³f(x₀) = f ´´´(x₀) dх³.

Предположим, что производная порядка (n1) функции y = f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀, тогда можно определить дифференциал n-го порядка d ⁿy функции y = f (x) как дифференциал d(d^n – 1у) взятый при условии, что dх постоянная величина. Получим

d ⁿf(x₀) = f  ⁽ⁿ⁾(x₀) dх ⁿ. (2)

Замечание. Дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности формы.