Определение усилий в колоннах

Поперечную раму однопролётного здания, состоящую из двух колонн, жёсткозащемлённых с фундаментом и шарнирно соединённых с ригелем в виде балки, рассчитывают на вертикальные и горизонтальные нагрузки (см. рис. 1). Она является статически неопределимой системой. При бесконечно большой жёсткости ригеля (условное допущение) за лишнее неизвестное удобно принять продольное усилие в ригеле, которое определяют по известным правилам строительной механики.

Определение изгибающих моментов (без учёта коэффициента сочетаний):

от ветровой нагрузки усилие в ригеле:

Изгибающий момент в уровне верха фундамента:

От внецентренного приложения нагрузки от стен при эксцентриситете приложения нагрузки от стен изгибающий момент, действующий на стойку рамы:

M_ст = G_ст e = 24,76  0,484 = 14,46.

Усилие растяжения в ригеле):

.

Изгибающие моменты в уровне верха фундамента:

M_лев.ст = - M_ст + X_ст  H = -14,46 + 1,68  9,7 = 1,84 кНм;

M_пр.ст = M_ст - X_ст  H = 14,46 - 1,68  9,7 = - 1,84 кНм.

Определение поперечных сил (без учёта коэффициентов сочетаний):

от ветровой нагрузки

Q_w.d =  H + Q ⁺_w.d - X_в = 1,023  9,7 + 1,11 – 0,905 = 10,13 кН.

от внецентренного приложения нагрузки от стен

Q_лев.ст = X_ст = 1,68 кН.

Определение усилий в колоннах с учётом, в необходимых случаях, коэффициентов сочетаний:

первое сочетание нагрузок:

N = G_о.к.п + G_риг + G_ст + G_кол +Q_сп ₁ =

= 64,5 + 9,06 + 24,76 + 21,48 + 73,72 + 0,95 = 189,83 кН.

Моменты на уровне верха фундаментов:

M_лев = M_лев.ст + M_лев.в ₁ = 1,84 + 50,12  0,95 = 49,45 кНм;

M_пр = M_пр.ст + M_пр.в ₁ = -1,84 + 45,63  0,95 = 41,51 кНм;

Q_лев = Q_лев.в ₁ + Q_лев.ст = 10,13  0,95 + 1,68 = 11,3 кН.

Для расчёта колонн на прочность и устойчивость плоской формы деформирования принимаем значение M_d= M_лев=49,45 кНм, N_d=189,83 кН.

второе сочетание нагрузок при одной временной нагрузке коэффициент ₁ не учитывается:

N = G_о.к.п + G_риг + G_ст + G_кол +Q_сн =

= 64,5 + 9,06 + 24,76 + 21,48 + 73,72 = 193,52 кН.

третье сочетание нагрузок коэффициент ₁ не учитывается, так как одна временная нагрузка:

изгибающие моменты в уровне фундмента:

M_лев = M_лев.ст + M_лев.в = 1,84 + 50,12 = 51,96 кНм;

M_пр = M_пр.ст + M_пр.в = -1,84 + 45,63  0,95 = 43,79 кНм.

Поперечная сила:

Q_лев = Q_лев.ст + Q_лев.в = 10,13 + 1,68 = 11,81 кН.

Продольную силу определяют при ₁ = 0,9

N = G'_о.к.п + G'_риг + G'_ст + G'_кол=

Расчёт колонн на прочность по нормальным напряжениям

Расчёт производится на действие изгиба с осевым сжатием в соответствии с п. 7.1.9 [1]. Рассчитываем на действие N_d и M_d при первом сочетании нагрузок: M_d = 49,45 кНм; N_d = 189,83 кН.

При изгибе с осевым сжатием должно удовлетворяться следующее условие:

,

где , (N_d – расчётная осевая сила, A_sup=b  h = 19.97  10^-2 м² – площадь поперечного сечения элемента нетто) - расчётное напряжение сжатия;

f_m.d , f_c.o.d - расчётные сопротивления изгибу и сжатию. При древесине третьего сорта f_c.o.dk_xk_mod = 11,0  1,2  1,05 = 13,86 МП; f_m.dk_xk_mod = 11,0  1,2  1,05 = 13,86 МПа., Коэффициент условий работы k_mod= 1,0,5 (табл. 6.4 [1]); k_x = 1,2 (табл. 6.6 [1]).

_m.d - расчётное напряжение изгиба:

, ,

(M_d – расчётный изгибающий момент; W_d – расчётный момент сопротивления поперечного сечения элементва, принимаемый равным моменту сопротивления неттоW_inf , с шириной элемента без учёта отверстий под болты b_d = 0,260 - 0,024 + 0,002  2 = 0, 208 м).

k_m.c - коэффициент, учитывающий увеличение напряжений при изгибе по направлению соответствующей оси от действия продольной силы.

Для шарнирно-опёртых элементов k_m.c определяется по формуле:

,

где k_c коэффициент продольного изгиба;

_c.o.d - расчётное сжимающее напряжение, определяется по формуле:

; (A_sup = h  b = 0,768  0,26 = 19,97  10^-2 м² - площадь поперечного сечения элемента брутто).

Коэффициент продольного изгиба определяется в зависимости от гибкости элемента. Гибкость составных элементов определяется по формуле:

,

где _z - гибкость всего элемента относительно оси, определённая без учёта податливости при расчётной длине (l_d);

₁ – гибкость отдельной ветви относительно собственной оси, вычисленная по расчётной длине (l₁);

k_ - коэффициент приведения гибкости.

Расчётную длину элемента (l_d) определяют умножением его свободной длины (l) на коэффициент (₀), учитывающий закрепление элемента и нагрузку, действующую на элемент:

l_d = ₀  l , l_d = 2,2   9,7 = 21,34 м.

₀ =2,2 принимаем по таблице 7.1 [1]; l = H = 9,7 м;

,

i_z - радиус инерции сечения элемента в направлении соответствующей оси i_z = 0,289h =0,289  0,768 = 2,798  10^-1 м.

;

i₁ = 0,289h₁ =0,289  0,192 = 6,994  10^-2 м. l₁ = 0,5 м - расстояние между болтами.

,

где b; h - геометрические размеры сечения;

n₁ = 3 - количество швов в поперечном сечении, по которым суммируется взаимный сдвиг;

n₂ = 4 - расчётное среднее количество срезов в одном шве, приведенное к 1 м элемента;

k_к - коэффициент податливости соединения, определяемый по таблице 7.6 [1],

при ; ;

;

.

Гибкость составного элемента следует принимать не более гибкости отдельных ветвей, определяемой по формуле:

,

где – сумма моментов инерции брутто поперечных сечений отдельных ветвей относительно собственных осей, параллельных оси z.

A_sup = 0,26  0,192  4 = 25,168  10^-2 м² - площадь сечения брутто элемента;

l_d - расчётная длина элемента;

;

 = 76,7  ' = 305 принимаем гибкость элемента  = 76,7  77.

,

где E_0.nom= 300 f_c.o.d = 300  13,86 = 4158 МПа - вероятный минимальный модуль упругости; f_c.0.d = 13,86 МПа;

;

так как  = 77  _rel = 58,5 , то

.

В случаях, когда в шарнирно-опертых элементах эпюра изгибающих моментов имеет треугольное очертание, коэффициент следует умножить на поправочный коэффициент k_c.

k_c =  + k_m.c(1 - ),

где  = 1,22 при эпюре треугольного очертания.

k_c = 1,22 + 0,813  (1 – 1,22) = 1,041

- условие выполняется при принятом сечении.

Расчёт на устойчивость плоской формы деформирования сжато-изгибаемых элементов следует выполнять по формуле (7.35) [1]:

,

где n - показатель степени, учитывающий раскрепление растянутой кромки из плоскости, n = 2 для элементов без раскрепления растянутой кромки;

k_c - коэффициент продольного изгиба, определяемый участка длиной l_m между закреплениями;

k_inst - коэффициент устойчивости изгибаемого элемента;

k_m.c - коэффициент, учитывающий увеличение напряжений при изгибе;

_c.o.d- расчётное сжимающее напряжение.

_m.d - расчётное напряжение от изгиба.

_c.o.d = 0,75 МПа; _m.d = 1,22 МПа.

Принимаем, что распорки по наружным рядам колонн в плоскости параллельной наружным стенам идут только по верху колонн.

l_m = 9,7 м; ₀ = 0,8 по таблице 7.1 [1].

;

; k_ = 1,00144.

;

_rel = 58,5 см. ранее,

при  = 103,7  _rel = 58,5;

;

;

k_c = 1,22 + k_m.c  (1 – 1,22) = 1,22 + 0,66  (1 – 1,22) = 1,075;

,

где l_m - расстояние между точками закрепления элемента;

b_к - ширина поперечного сечения;

h_к - максимальная высота поперечного сечения на участке l_m;

k_f - коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке l_m, определяется по таблице 7.4 СНБ 5.05.01-2000;

k_f = 1,75 – 0,75 , = 0 т.к. момент в верхней части колонны равен 0.

k_f = 1,75; ;

,

где M_max - максимальный изгибающий момент на рассматриваемом участке l_m;

W_sup.max - максимальный момент сопротивления брутто на рассматриваемом участке l_m

;

;

.

Следовательно, устойчивость обеспечена.