Алгоритм построения таблицы истинности

1. Подсчитать n- количество переменных в формуле.

2. Определить число строк в таблице m=2ⁿ+ 2, где 2ⁿ -количество двоичных наборов, 2-строки заголовка.

3. Подсчитать количество логических операций в формуле.

4. Установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов.

5. Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций.

6. Выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой натуральный ряд n- разрядных чисел от 0 до 2ⁿ-1.

7. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

П остроим по данному алгоритму таблицу истинности для формулы А& из примера 2.

Порядок выполнения логических операций будет следующим: инверсия С, инверсия В, конъюнкция, импликация.

1	2	3	4	5	6	7
А	В	С			(1)&(5)	(4) (6)
0	0	0	1	1	0	0
0	0	1	0	1	0	1
0	1	0	1	0	0	0
0	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	0	1	0	0	0
1	1	1	0	0	0	1

§4. Алгебра логики. Тождественно истинные, тождественно ложные и эквивалентные высказывания

Если сложное высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией (обозначается константой 1.)

Например, высказывание Демократ- это человек, исповедующий демократические убеждения всегда истинно, т. е. является тавтологией.

Все математические, физические законы и законы других наук являются тавтологиями.

Если сложное высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным (обозначается константой 0).

Проверить, является ли сложное высказывание в алгебре логики тождественным истинным или тождественно ложным, можно по таблице истинности.

Пример. Построим таблицы истинности для формул А и А&

А	А &
1 2 3 А А 0 1 1 1 0 1	1 2 3 А А& 0 1 0 1 0 0

Первое высказывание будет тождественно истинным. Например, Дождь будет или дождя не будет. Второе высказывание тождественно ложное. Например, Компьютер включен, и компьютер не включен (выключен).

Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называют равносильными, или тождественными, или эквивалентными.

Высказывания А и В равносильны (А=В) тогда и только тогда, когда их эквивалентность А В является тождественно истинным высказыванием.

В качестве примера рассмотрим два высказывания:

X= Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался от него.

X= .

Y = Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл его.

Y= .

Чтобы доказать равносильность сложных высказываний X и Y, достаточно построить из таблицы истинности. Объединим эти две таблицы в одну:

1	2	3	4	5	6	7	8
А	В			(1)& (2)	X=	Y=(3) (4)	(6) (7)
0	0	1	1	0	1	1	1
0	1	1	0	0	1	1	1
1	0	0	1	0	1	1	1
1	1	0	0	1	0	0	1

Существуют два варианта рассуждений:

1. Так как значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то по определению X равносильно Y.

2. Так как 8-й столбец содержит одни единицы, то эквивалентность X и Y тождественна истина, значит, X и Y тождественно истинна, значит, X и Y равносильны.