Математическая формулировка задачи линейного программирования.

Нужно максимизировать

при условиях

при .

Иногда на также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя ее во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции ).

Такую задачу называют "основной" или "стандартной" в линейном программировании.

2. Экономико-математическая модель по оптимизации отраслевой структуры производства

Постановка задачи.

Большинство современных сельскохозяйственных предприятий развивает совокупность отраслей, рациональное сочетание которых в значительной степени определяет эффективность всей производственно-финансовой деятельности хозяйствующего субъекта. Очевидно, что есть отрасли более эффективные, чем другие. Но отдать доминирующий приоритет самым эффективным отраслям невозможно иногда в силу агротехнических или зооветеринарных, иногда в силу организационно-экономических требований. Именно поэтому проблема поиска оптимального сочетания развиваемых в предприятии отраслей действительно актуальна.

Постановку данной задачи сформулируем следующим образом: исходя из наличия ресурсов необходимо найти такое сочетание отраслей, которое обеспечило бы получение максимальной суммы чистого дохода при условии соблюдения всех агротехнических и зооветеринарных требований, выполнения договорных обязательств по реализации продукции, гарантированного обеспечения отраслей животноводства кормами.

Входная информация.

Для разработки экономико-математической модели данной задачи необходимо иметь следующую информацию:

• площадь пашни, имеющуюся у предприятия;

• перечень сельскохозяйственных культур, которые планируется возделывать;

• урожайность основной и побочной продукции, нормы высева семян (по культурам, по которым используются семена собственного производства), нормативы отходов;

• производственные затраты и затраты труда в расчете на 1 га посева;

• агротехнические требования по насыщению севооборотов отдельными культурами и группами культур;

• поголовье имеющихся у предприятия сельскохозяйственных животных;

• структуру стада, продуктивность скота, затраты корма на 1 структурную голову;

• рационы кормления скота;

• питательность кормов, включенных в рационы кормления;

• выход продукции в расчете на 1 структурную голову;

• производственные затраты в расчете на 1 структурную голову без учета стоимости кормов;

• цену приобретения покупных кормов;

• цену реализации реализуемой продукции.

Основными источниками получения информации являются фактические данные, получаемые в хозяйствах, справочная литература, информация о нормативной или фактической питательности кормов. Подготовку входной информации и построение экономико-математической модели рассмотрим на конкретном примере.

Условия задачи и подготовка входной информации.

В ООО «Простор» имеется 5 400 га пашни. Продуктивные сенокосы и пастбища отсутствуют. Планируется возделывать следующие сельскохозяйственные культуры: озимую пшеницу, ячмень, сою, горчицу, сахарную свеклу, подсолнечник, кукурузу на силос и зеленый корм, однолетние травы, многолетние травы. В соответствии с потребностями отрасли животноводства травы будут выращиваться на сено, сенаж и зеленый корм.

Исходя из запланированного уровня урожайности и на основании рассчитанных технологических карт были определены размеры затрат материально-денежных средств и затраты труда в расчете на 1 га посева сельскохозяйственных культур. Выход побочной продукции планируется только по тем видам, которые будут в дальнейшем использоваться (солома ячменя и сои на корм). Для ячменя выход соломы планируется как 1:1 от выхода зерна, по сое 0,8:1 (таблица 1).

Таблица 1. Информация об урожайности, затратах материально-денежных средств и затратах труда в расчете на 1 га посева сельскохозяйственных культур

Сельскохозяйственные культуры	Планируемая урожайность, ц/га		Материально-денежные затраты в расчете на 1 га, тыс.руб.
	основной продукции	побочной продукции
Озимая пшеница	41	62	10,1
Ячмень	36	36	8,5
Соя	16	12	8,9
Горчица	16	12	7,9
Сахарная свекла	482	193	44,9
Подсолнечник	24		7,2
Кукуруза на силос	321		10,8
Кукуруза на зеленый корм	310		10,2
Однолетние травы на сено	31		5,6
Однолетние травы на сенаж	51		5,4
Однолетние травы на зеленый корм	155		5,2
Многолетние травы на сено	51		6,7
Многолетние травы на сенаж	85		6,5
Многолетние травы на зеленый корм	257		6,2
Озимые на зеленый корм	112		4,6
Пар			2,7

Хозяйством заключены договора на реализацию 23 000 ц озимой пшеницы, 12 000 ц ячменя, 195 000 ц сахарной свеклы и 20 000 ц молока.

Исходя из агротехнических требований заданы следующие границы насыщения севооборота отдельными культурами и группами культур.

Таблица 2. Пределы насыщения севооборота отдельными культурами и

группами культур

Сельскохозяйственные культуры	Нижняя граница		Верхняя граница
	%	га	%	га
Всего пашни	100,0%	5400	100,0%	5400
Зерновые и зернобобовые	50,0%	2700	60,0%	3240
Озимые	20,0%	1080	30,0%	1620
Соя и горчица	0,0%	0	20,0%	1080
Сахарная свекла	0,0%	0	15,0%	810
Подсолнечник	0,0%	0	12,5%	675
Пар	5,0%	270	10,0%	540

В хозяйстве развивается молочное скотоводство. Оборот стада предусматривает реализацию всего сверхремонтного молодняка в 20-ти дневном возрасте населению и предприятиям, специализирующимся на выращивании, доращивании и откорме крупного рогатого скота.

При описании животноводческих отраслей для упрощения расчетов, связанных с подготовкой исходной информации, в качестве единицы измерения используются структурные головы. За структурную голову в молочном скотоводстве принимаются фуражная корова.

Информация о среднегодовом поголовье крупного рогатого скота, полученная на основе составленного оборота стада исходя из фактического поголовья фуражных коров, приведена в таблице 3.

Таблица 3. Информация о среднегодовом поголовье крупного рогатого скота

Половозрастные группы	Поголовье, гол	Структура стада, %
Коровы	342	76,3
Нетели	22	4,8
Телочки до 20 дней	6	1,3
Бычки до 20 дней	6	1,3
Телочки с 20 дней до 6 месяцев	22	4,8
Телки с 6 месяцев до 1 года	22	4,8
Телки с 1 года до 18 месяцев	22	4,8
Выбракованный скот на откорме	8	1,9
Всего крупного рогатого скота	450	100,0

Валовое производство прироста по стаду крупного рогатого скота составляет 0,69 ц в расчете на 1 структурную голову. Реализация прироста крупного рогатого скота - 1,13 ц в расчете на 1 структурную голову. Надой на 1 фуражную корову планируется на уровне 5110 кг. Исходя из рыночной конъюнктуры планируются следующие цены реализации продукции животноводства: молоко - 920, прирост КРС - 5 800 руб. за 1 ц. В этом случае стоимость товарной продукции в расчете на 1 структурную голову составит: 51,10·920 + 1,13·5800 = 53,566 тыс. руб.

Исходя из планируемых рационов кормления по каждой половозрастной группе и количества кормодней пребывания задается годовая потребность в кормах в расчете на 1 структурную голову (таблица 4).

Таблица 4. Потребность в кормах на 1 структурную голову КРС

Корма и кормовые добавки	Требуется корма на 1 структурную голову, ц.к.ед.
	на молоко	на прирост	всего
Комбикорм	7,14	0,87	8,00
Пшеница	3,46		3,46
Ячмень	3,11		3,11
Сено	6,88	0,27	7,14
Солома		0,09	0,09
Сенаж	13,53	1,59	15,12
Силос	10,60	0,74	11,34
Зеленые корма		1,13	1,13
Патока	3,08		3,08
Премикс	0,18	0,02	0,20
Молоко		0,09	0,09
Обрат		0,11	0,11
ЗЦМ		0,15	0,15
Всего	47,96	5,06	53,02

Исходя из зооветеринарных требований в 1 ц корма, направляемого на производство молока, должно содержаться не менее 0,101 кг, а в 1 ц корма, направляемого на производство прироста, - 0,107 кг переваримого протеина.

Материально-денежные затраты в расчете на 1 структурную голову (без стоимости кормов) составляют 23,4 тыс. руб. Материально-денежные затраты включаются в модель без учета стоимости кормов для того, чтобы избежать двойного счета, поскольку затраты на производство кормов и их приобретение определяются уже в ходе решения экономико-математической задачи.

Молоко на корм собственного производства потребляется по складывающейся себестоимости, а остальные корма и кормовые добавки приобретаются по следующим ценам: комбикорм – 7,14; пшеница – 3,46; ячмень – 3,11; сено – 6,88; сенаж – 13,53; силос – 10,60; патока – 3,08; премикс – 0,18 руб. за 1 кг.

Для разработки экономико-математической модели необходимо провести дополнительные расчеты. Первая расчетная таблица связана с обоснованием распределения продукции в расчете на 1 га посева отдельных сельскохозяйственных культур.

Таблица 5. Распределение продукции в расчете на 1 га посева

сельскохозяйственных культур

Сельскохозяйственные культуры	Выход продукции с 1 га, ц		Отходы, ц	Семена со страховым фондом, ц	На корм скоту, ц		Товарная продукция
	основной	побочной			основной	побочной	в натуральном выражении, ц	в денежном выражении, тыс.руб.
Озимая пшеница товарная	41	61,5	0,82	2,50	0,82		37,68	18,09
Озимая пшеница фуражная	41	61,5	0,82	2,50	38,50
Ячмень товарный	36	36,0	0,72	3,30	0,72	36,00	31,98	13,11
Ячмень фуражный	36	36,0	0,72	3,30	32,70	36,00
Соя	16	12,0	0,32		0,32	12,00	15,68	18,82
Горчица	16	12,0	0,32				15,68	20,54
Сахарная свекла	482	192,8					482,00	53,02
Подсолнечник	24		0,48				23,52	22,34
Кукуруза на силос	321		80,25		240,75
Кукуруза на зеленый корм	310				310,00
Однолетние травы на сено	31				31,00
Однолетние травы на сенаж	51				51,00
Однолетние травы на зеленый корм	155				155,00
Многолетние травы на сено	51				51,00
Многолетние травы на сенаж	85				85,00
Многолетние травы на зеленый корм	257				257,00
Озимые на зеленый корм	112				112,00

Данные о выходе продукции с 1 га посева берутся из таблицы 1.

Норматив отходов по группе зерновых и зернобобовых, горчице и подсолнечнику устанавливается на уровне 2% от урожайности в физическом весе. Норматив угара силосной массы берется на уровне 25% от урожайности кукурузы на силос.

Семена озимой пшеницы и ячменя производятся непосредственно в хозяйстве. Формирование семенного фонда по данным сельскохозяйственным культурам происходит исходя из следующих норм высева семян: озимая пшеница – 2,5 ц на 1 га, ячмень – 3,0 ц на 1 га. При этом по ячменю предусматривается создание страхового фонда семян в размере 10% семенного фонда.

Таблица 6. Расчет выхода кормов с 1 га кормовых угодий, содержание кормовых единиц и переваримого протеина в кормах и кормовых добавках

Сельскохозяйственные культуры	Содержится в 1 ц корма				Выход корма с 1 га, ц		Основная продукция		Побочная продукция		Всего
	основной продукции		побочной продукции
	ц.к.ед.	переваримого протеина, кг	ц.к.ед.	переваримого протеина, кг	основной продукции	побочной продукции	ц.к.ед.	переваримого протеина, ц	ц.к.ед.	переваримого протеина, ц	ц.к.ед.	переваримого протеина, кг
Озимая пшеница товарная	1,28	10,60			0,82		1,05	0,087			1,05	0,087
Озимая пшеница фуражная	1,28	10,60			38,50		49,28	4,081			49,28	4,081
Ячмень товарный	1,15	8,50	0,28	1,10	0,72	36,00	0,83	0,061	10,08	0,396	10,91	0,457
Ячмень фуражный	1,15	8,50	0,28	1,10	32,70	36,00	37,61	2,780	10,08	0,396	47,69	3,176
Соя	1,29	22,00	0,32	1,30	0,32	12,00	0,41	0,070	3,84	0,156	4,25	0,226
Кукуруза на силос
Кукуруза на зеленый корм
Однолетние травы на сено
Однолетние травы на сенаж	0,20	1,40			240,75		48,15	3,371			48,15	3,371
Однолетние травы на зеленый корм	0,21	1,40			310,00		65,10	4,340			65,10	4,340
Многолетние травы на сено	0,45	6,70			31,00		13,95	2,077			13,95	2,077
Многолетние травы на сенаж	0,32	3,30			51,00		16,32	1,683			16,32	1,683
Многолетние травы на зеленый корм	0,18	2,40			155,00		27,90	3,720			27,90	3,720
Озимые на зеленый корм	0,50	8,20			51,00		25,50	4,182			25,50	4,182
Комбикорм	0,34	4,20			85,00		28,90	3,570			28,90	3,570
Премикс	0,22	3,10			257,00		56,54	7,967			56,54	7,967
Патока	0,20	2,50			112,00		22,40	2,800			22,40	2,800
Молоко	1,10	11,00									1,10	11,000
ЗЦМ	0,50	5,50									0,50	5,500
Обрат	0,76	6,00									0,76	6,000

Объем продукции, направляемой на корм скоту, по озимой пшенице и ячменю товарным определяется на уровне отходов, а по этим же культурам, посеянным на фуражные цели, - как разница между урожайностью и нормой высева семян с учетом страхового фонда. Выход готового силоса в расчете на 1 га посева кукурузы на силос рассчитывается с учетом угара силосной массы при хранении этого корма. Из побочной продукции на корм скоту предполагается использовать солому ячменя и сои.

Выход товарной продукции в натуральном выражении с 1 га посева определяется по товарным культурам как разница между урожайностью, количеством отходов и нормой высева семян с учетом страхового фонда.

Исходя из рыночной конъюнктуры планируются следующие цены реализации производимой продукции: озимая пшеница - 480, ячмень – 410, соя - 1 200, горчица – 1 310, сахарная свекла – 115, подсолнечник – 950 руб. за 1 ц.

На основании данных таблицы 24 и питательности кормов заполняется таблица 25.

Для равномерного обеспечения отрасли животноводства зелеными кормами необходимо провести планирование зеленого конвейера (табл. 7).

Таблица 7. Схема зеленого конвейера

Источники зеленого корма	Выход с 1 га, ц.к.ед.	Сроки использования зеленых кормов, ц к.ед. с 1 га
		2-я половина мая	1-я половина июня	2-я половина июня	июль	август	сентябрь
Кукуруза 1 срока сева	65,1					65,1
Кукуруза 2 срока сева	65,1						65,1
Многолетние травы на зеленый корм	56,5		33,9		22,6
Однолетние травы 1 срока сева	27,9			27,9
Однолетние травы 2 срока сева	27,9				27,9
Озимые на зеленый корм	22,4	22,4

По многолетним травам планируется провести два укоса. На первый укос приходится 60% их урожайности, на второй – 40%.

Определение потребности в кормах в расчете на 1 структурную голову с учетом страхового фонда приведено в таблице 27 при проектируемом уровне затрат корма на производство 1 ц молока и прироста КРС соответственно 1,06 и 8,24 ц.к.ед.

В связи с тем, что потребность в молоке на корм будет удовлетворяться за счет молока собственного производства, необходимо провести корректировку суммы выручки от реализации продукции животноводства в расчете на 1 структурную голову. Исходя из данных таблицы 4 в расчете на 1 структурную голову требуется 0,11 ц молока, что в физическом весе составит: 0,11 ц к.ед. / 0,34 ц к.ед. = 0,32 ц. То есть в расчете на 1 структурную голову будет реализовано продукции не на 53,57 тыс. руб., а на 294,40 руб. меньше (0,32 ц*920 руб. = 294,40 руб.), или 53,27 тыс. руб.

Построение экономико-математической модели

Система переменных данной экономико-математической задачи представлена основными и вспомогательной переменными. За основные переменные принимаются:

- площадь посева j-ой сельскохозяйственной культуры;

- поголовье j-го вида сельскохозяйственных животных;

- объем приобретения j-го вида корма или кормовой добавки;

x1	-	Озимая пшеница товарная
x2	-	Озимая пшеница фуражная
x3	-	Ячмень товарный
x4	-	Ячмень фуражный
x5	-	Соя
x6	-	Горчица
x7	-	Сахарная свекла
x8	-	Подсолнечник
x9	-	Кукуруза на силос
x10	-	Кукуруза на зеленый корм 1 срока сева
x11	-	Кукуруза на зеленый корм 2 срока сева
x12	-	Однолетние травы на сено
x13	-	Однолетние травы на сенаж
x14	-	Однолетние травы на зеленый корм 1 срока сева
x15	-	Однолетние травы на зеленый корм 2 срока сева
x16	-	Многолетние травы на сено
x17	-	Многолетние травы на сенаж
x18	-	Многолетние травы на зеленый корм
x19	-	Озимые на зеленый корм
x20	-	Пар
x21	-	Комбикорм
x22	-	Патока
x23	-	Премикс
x24	-	Молоко на корм
x25	-	Обрат
x26	-	ЗЦМ
x27	-	Поголовье крупного рогатого скота

Вспомогательная переменная ( ) используется для определения суммы производственных затрат по предприятию.

x28

-

Производственные затраты

Все условия задачи записаны в виде линейных уравнений и неравенств (ограничений), которые можно разбить на группы:

• по использованию ресурсов;

• по выполнению агротехнических требований возделывания сельскохозяйственных культур;

• по выполнению договорных обязательств по реализации продукции;

• по обеспеченности потребностей животноводства кормами собственного производства;

• по определению стоимости производственных затрат.

Основными ограничениями (с 1 по 2) являются условия, ограничивающие систему фактическим наличием ресурсов. В данном конкретном примере ограничивающими факторами будут являться площадь пашни и поголовье сельскохозяйственных животных.

В общем виде ограничение по использованию ресурсов записывается следующим образом:

,

где - площадь посева j-ой сельскохозяйственной культуры;

- поголовье j-го вида скота;

- затраты ресурсов i-го вида в расчете на 1 га посева j-ой сельскохозяйственной культуры;

- затраты ресурсов i-го вида в расчете на 1 структурную голову j-го вида скота;

- наличие ресурсов i-го вида.

Поскольку по условиям задачи рассматривается только два вида ресурсов, то будут рассмотрены два частных случая ограничения по ресурсам

,

где - затраты пашни в расчете на 1 га посева j-ой сельскохозяйственной культуры;

- наличие пашни в хозяйстве.

Таким образом, ограничение, гарантирующее, что площадь посева всех сельскохозяйственных культур и пара не превысит площади пашни, имеющейся в наличии, будет записано в следующем виде

1X₁+1X₂+1X₃+1X₄+……+1X₁₇+1X₁₈+1X₁₉+1X₂₀<=5400 i=1.

Коэффициенты при X_j означают, что для возделывания 1 га каждой сельскохозяйственной культуры необходимо затрачивать 1 га пашни.

Так как по условию задачи поголовье сельскохозяйственных животных должно быть сохранено на фактическом уровне, то второе основное ограничение в структурном виде записывается как:

,

где - бинарные коэффициенты связи (равны либо 0, либо 1) по i-му виду сельскохозяйственных животных;

- фактическое поголовье i-го вида сельскохозяйственных животных в хозяйстве.

То есть сохранение существующего поголовья крупного рогатого скота обеспечивается через реализацию условия

1X₂₇=450 i=2.

При необходимости в систему основных ограничений могут быть введены условия по использованию сенокосов, пастбищ, трудовых и других ресурсов.

Первую группу дополнительных ограничений (с 3 по 12) составляют ограничения по выполнению агротехнических требований, соблюдение которых необходимо для соблюдения научно обоснованного чередования сельскохозяйственных культур.

Эти требования представлены условиями двух видов: во-первых, по насыщению севооборота отдельными культурами или группами культур; во-вторых, по обеспечению озимых культур хорошими предшественниками.

Ограничение по насыщению севооборота отдельными культурами или группами культур в структурном виде может быть записано как

,

где Q_i - верхние или нижние пределы насыщения севооборотов отдельными сельскохозяйственными культурами или группами культур.

Например, ограничение по насыщению севооборота зерновыми и зернобобовыми культурами может быть записано следующим образом:

1X₁+1X₂+1X₃+1X₄+1X₅+1X₁₉ >=2700 i=3,

1X₁+1X₂+1X₃+1X₄+1X₅+1X₁₉ <=3240 i=4.

Ограничение по насыщению севооборота озимыми:

1X₁+1X₂+1X₁₉ >=1080 i=5,

1X₁+1X₂+1X₁₉ <=1620 i=6.

Аналогично заполняются ограничения по насыщению севооборота горчицей и соей, сахарной свеклой, подсолнечником, паром.

Информация о пределах насыщения севооборота отдельными сельскохозяйственными культурами или группами культур берется из таблицы 21 (столбцы 2 и 4).

Ограничение по обеспечению озимых культур предшественниками в структурном виде может быть записано как:

,

где - площадь посева j-ой озимой культуры;

- площадь посева j-ой сельскохозяйственной культуры;

- коэффициент возможного использования посевов j-ой сельскохозяйственной культуры в качестве предшественника под озимые.

Данное ограничение может быть записано следующим образом

1X₁+1X₂-1X₅-1X₁₀-1X₁₂-1X₁₃-1X₁₄-1X₁₅-0,33X₁₆-0,33X₁₇-0,33X₁₈-1X₂₀<=0 i=12.

Коэффициент 0,33 при переменных, означающих многолетние травы, означает, что планируемый срок использования многолетних трав в хозяйстве составляет три года, поэтому ежегодно третья часть многолетних трав запахивается и может быть использована в качестве предшественника под озимые. Если срок эксплуатации многолетних трав будет равен четырем годам, то данный коэффициент будет равен 0,25.

Вторую группу дополнительных ограничений (с 13 по 16) составляют ограничения по выполнению договорных обязательств по реализации продукции.

Эти ограничения гарантируют, что товарной продукции по тем ее видам, на реализацию которой заключены договора, будет произведено не менее заданных объемов

,

где X_j - площадь посева j-ой сельскохозяйственной культуры или поголовье j-го вида скота;

r_ij - выход продукции i-го вида в расчете на 1 га посева j-ой сельскохозяйственной культуры или 1 структурную голову j-го вида скота;

- минимально необходимый объем производства товарной продукции i-го вида.

По условиям задачи хозяйство заключило договора на реализацию трех видов продукции: пшеницы, ячменя, сахарной свеклы и молока. Первые три ограничения будут записаны следующим образом:

37,68X₁>=23000 i=13,

31,98X₃>=12000 i=14,

482X₇>=195000 i=15.

Ограничение по реализации молока будет иметь несколько иной вид

-1X₂₄+51,10X₂₇>=20000 i=16.

Поскольку потребность в молоке на корм планируется удовлетворять за счет молока собственного производства, а его объем будет определяться в ходе решения задачи, то в данном ограничении из объема валового производства молока (51,10X₂₇) необходимо вычесть потребность в молоке на корм (X₂₄).

Информация о выходе товарной продукции с 1 га посева соответствующих сельскохозяйственных культур берется из столбца 7 таблицы 24.

Третью группу дополнительных ограничений (с 17 по 36) составляют ограничения по обеспечению потребности отрасли животноводства в кормах. Эти ограничения гарантируют, что эти потребности будут удовлетворены как за счет собственных, так и приобретенных кормов.

,

где - выход корма i-го вида в расчете на 1 га посева j-ой сельскохозяйственной культуры;

- содержание питательных веществ i-го вида в единице приобретаемого j-ого вида корма или j-ой кормовой добавки;

- потребность в корме i-го вида в расчете на 1 структурную голову j-ого вида сельскохозяйственных животных.

Ограничение по удовлетворению общей потребности отрасли животноводства в кормах может быть записано следующим образом

1,05X₁+49,28X₂+10,91X₃+47,69X₄+…….+0,34X₂₄+0,13X₂₅+2,40X₂₆-53,02X₂₇>=0 i=17.

По обеспечению рациона кормления переваримый протеином

0,09X₁+4,08X₂+0,46X₃+3,18X₄+…….+0,05X₂₄+0,04X₂₅+42,60X₂₆-5,41X₂₇>=0 i=18.

В ограничениях 17 и 18 информация о выходе корма (с учетом основной и побочной продукции) берется из столбцов 11 и 12 таблицы 25.

В ограничениях 20-22 и 24-25 – из столбца 11 таблицы 25. Например, ограничение по удовлетворению потребности в комбикорме запишется

1,10X₂₁-8,0X₂₇>=0 i=20

Ограничение по удовлетворению потребности в концентрированных кормах собственного производства будет записано как

1,05X₁+49,28X₂+0,83X₃+37,61X₄+0,41X₅ -6,57X₂₇>=0 i=21.

В ограничении по соломе (23) информация о выходе соломы с 1 га посева зерновых и зернобобовых культур берется из столбца 9 таблицы 25

10,08X₃+10,08X₄+3,84X₅-0,09X₂₇>=0 i=23.

С помощью ограничений 26-31 происходит моделирование так называемого «зеленого конвейера», позволяющего обеспечить равномерное поступление зеленых кормов. По условиям задачи хозяйство не располагает пастбищами, поэтому выход зеленых кормов планируется только с посевных площадей соответствующих сельскохозяйственных культур.

Схема зеленого конвейера приведена в таблице 26. Например, ограничение по удовлетворению потребности в зеленых кормах в июле запишется следующим образом

27,90X₁₅+22,60X₁₈-0,28X₂₇>=0 i=29.

Вспомогательным является ограничение по определению стоимости производственных затрат в целом по предприятию:

,

где - материально-денежные затраты в расчете на 1 га посева j-ой сельскохозяйственной культуры;

- цена приобретения j-ого вида корма или j-ой кормовой добавки;

- материально-денежные затраты без учета стоимости кормов в расчете на 1 структурную голову j-ого вида сельскохозяйственных животных.

Это ограничение может быть записано следующим образом

10,10X₁+10,10X₂+8,50X₃+8,50X₄+…+0,72X₂₁+…+23,40X₂₇ ‑ X₂₈=0 i=37.

Значения переменных должны быть неотрицательными

, , ,

Поскольку в качестве критерия оптимальности в данной задаче выбрана максимизация сумма чистого дохода (разница между стоимостью товарной продукции и общей суммой производственных затрат по предприятию), то целевая функция примет вид:

,

где - площадь посева j-ой сельскохозяйственной культуры или поголовье j-го вида скота;

- выход товарной продукции в стоимостном выражении в расчете на 1 га посева j-ой сельскохозяйственной культуры или 1 структурную голову j-го вида скота.

Целевая функция может быть записана следующим образом:

Z_max=18,09X₁+13,11X₃+18,82X₅+20,54X₆+53,02X₇+22,34X₈+53,33X₂₇ ‑X₂₈.

В матричном виде экономико-математическая модель по оптимизации отраслевой структуры производства представлена в таблице 8 (при распечатке курсового проекта целесообразно распечатать модель из MS Excel и поместить ее в текст в виде приложения.

Реализация разработанной экономико-математической модели производства осуществляется с помощью надстройки Поиск решения пункта меню Сервис Microsoft Excel.

Порядок работы с данной надстройкой описан в подразделе 4.1. настоящих методических указаний.

Таблица 8. Экономико-математическая модель по оптимизации отраслевой структуры производства (часть 1)

№	Ограничения	Единица измерения	Переменные
			Озимая пшеница		Ячмень		Соя	Горчица	Сахарная свекла	Подсолнечник	Кукуруза
			товарная	фуражная	товарный	фуражный					на силос	на зеленый корм
												1 срока сева	2 срока сева
			x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11
	Значения по решению = >		1477,2	0,0	595,0	12,4	1080,0	0,0	810,0	675,0	105,9	2,0	1,0
1	Пашня	га	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	Поголовье КРС	стр.гол.
3	Площадь зерновых и зернобобовых min	га	1	1	1	1	1
4	Площадь зерновых и зернобобовых max	га	1	1	1	1	1
5	Площадь озимых min	га	1	1
6	Площадь озимых max	га	1	1
7	Площадь горчицы и сои	га					1	1
8	Площадь сахарной свеклы	га							1
9	Площадь подсолнечника	га								1
10	Площадь пара min	га
11	Площадь пара max	га
12	Обеспеченность озимых предшественниками	га	1	1			-1					-1
	Объем реализации по договорам:
13	пшеница	ц	37,68
14	ячмень	ц			31,98
15	сахарная свекла	ц							482,00
16	молоко	ц
17	Требуется корма всего	ц.к.ед.	1,05	49,28	10,91	47,69	4,25				48,15	65,10	65,10
18	Требуется переваримого протеина	кг	0,09	4,08	0,46	3,18	0,23				3,37	4,34	4,34
19	Концентраты всего:	ц.к.ед.	1,05	49,28	0,83	37,61	0,41
20	в т.ч. комбикорм	ц.к.ед.
21	прочие концентраты	ц.к.ед.	1,05	49,28	0,83	37,61	0,41
22	Сено	ц.к.ед.
23	Солома	ц.к.ед.			10,08	10,08	3,84
24	Сенаж	ц.к.ед.
25	Силос	ц.к.ед.									48,15
26	Зеленый корм во 2-ой половине мая	ц.к.ед.
27	в 1-й половине июня	ц.к.ед.
28	во 2-й половине июня	ц.к.ед.
29	в июле	ц.к.ед.
30	в августе	ц.к.ед.										65,10
31	в сентябре	ц.к.ед.											65,10
32	Патока	ц.к.ед.
33	Премикс	ц.к.ед.
34	Молоко	ц.к.ед.
35	Обрат	ц.к.ед.
36	ЗЦМ	ц.к.ед.
37	Производственные затраты	тыс.руб.	10,10	10,10	8,50	8,50	8,90	7,90	44,90	7,20	10,80	10,20	10,20
Zmax			18,09		13,11		18,82	20,54	53,02	22,34

Продолжение таблицы 8 (часть 2).

№	Переменные																	Сумма произведений	Тип ограничений	Объем ограничений
	Однолетние травы				Многолетние травы			Озимые на зеленый корм	Пар	Комбикорм	Патока	Премикс	Молоко на корм	Обрат	ЗЦМ	Поголовье крупного рогатого скота	Производственные затраты
	на сено	на сенаж	на зеленый корм		на сено	на сенаж	на зеленый корм
			1 срока сева	2 срока сева
	x12	x13	x14	x15	x16	x17	x18	x19	x20	x21	x22	x23	x24	x25	x26	x27	x28			bi
	0,0	0,0	2,3	3,0	126,1	235,4	1,9	2,8	270,0	0,0	1823,9	178,0	125,0	365,4	28,0	450,0	86192,0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1									5400,0	=	5400,0
2																1		450,0	=	450
3								1										3167,4	>=	2700
4								1										3167,4	<=	3240
5								1										1480,0	>=	1080
6								1										1480,0	<=	1620
7																		1080,0	<=	1080
8																		810,0	<=	810
9																		675,0	<=	675
10									1									270,0	>=	270
11									1									270,0	<=	540
12	-1	-1	-1	-1	-0,33	-0,33	-0,33		-1									0,0	<=	0
13																		55660,6	>=	23000
14																		19028,1	>=	12000
15																		390420,0	>=	195000
16													-1			51,10		22870,0	>=	20000
17	13,95	16,32	27,90	27,90	25,50	28,90	56,54	22,40		1,10	0,76	0,50	0,34	0,13	2,40	-53,02		6627,4	>=	0
18	2,08	1,68	3,2	3,72	4,18	3,57	7,97	2,80		11,00	6,00	5,50	0,05	0,04	42,60	-5,41		13165,6	>=	0
19										1,10						1,44		3601,4	>=	0
20										1,10						8,00		3601,4	>=	0
21																-6,57		0,0	>=	0
22	13,95				25,50											-7,14		0,0	>=	0
23																-0,09		10228,7	>=	0
24		16,32				28,9										-15,12		0,0	>=	0
25																-11,34		0,0	>=	0
26								22,40								-0,14		0,0	>=	0
27							33,90									-0,14		0,0	>=	0
28			27,90													-0,14		0,0	>=	0
29				27,90			22,60									-0,28		0,0	>=	0
30																-0,28		0,0	>=	0
31																-0,14		0,0	>=	0
32											0,76					-3,08		0,0	=	0
33												0,50				-0,20		0,0	=	0
34													0,34			-0,09		0,0	=	0
35														0,13		-0,11		0,0	=	0
36															2,40	-0,15		0,0	=	0
37	5,60	5,40	5,20	5,20	6,70	6,50	6,20	4,62	2,70	0,72	0,15	0,55		0,10	0,00	23,40	-1	0,0	=	0
Zmax																53,33	-1	50673,3	max

Анализ результатов решения задачи

Результаты реализации экономико-математической модели по оптимизации отраслевой структуры производства приведены в таблице 9.

Таблица 9. Результаты решения задачи по оптимизации отраслевой

структуры производства

Номер переменной	Наименование переменной	Значение по решению
x1	Озимая пшеница товарная	1477,2
x2	Озимая пшеница фуражная	0,0
x3	Ячмень товарный	595,0
x4	Ячмень фуражный	12,4
x5	Соя	1 080,0
x6	Горчица	0,0
x7	Сахарная свекла	810,0
x8	Подсолнечник	675,0
x9	Кукуруза на силос	105,9
x10	Кукуруза на зеленый корм 1-го срока сева	2,0
x11	Кукуруза на зеленый корм 2-го срока сева	1,0
x12	Однолетние травы на сено	0,0
x13	Однолетние травы на сенаж	0,0
x14	Однолетние травы на зеленый корм 1 срока сева	2,3
x15	Однолетние травы на зеленый корм 2 срока сева	3,0
x16	Многолетние травы на сено	126,1
x17	Многолетние травы на сенаж	235,4
x18	Многолетние травы на зеленый корм	1,9
x19	Озимые на зеленый корм	2,8
x20	Пар	270,0
x21	Комбикорм	0,0
x22	Патока	1 823,9
x23	Премикс	178,0
x24	Молоко на корм	125,0
x25	Обрат	365,4
x26	ЗЦМ	28,0
x27	Поголовье крупного рогатого скота	450,0
x28	Сумма производственных затрат	86192,0

В результате решения задачи были определены площади посева сельскохозяйственных культур, объемы приобретаемых кормов и кормовых добавок, поголовье крупного рогатого скота (в структурных головах) и сумм производственных затрат по предприятию.

Все ограничения выполнены. Анализируя результаты, представленные в столбце «Сумма произведений» можно сделать следующие выводы.

Имеющаяся в хозяйстве пашня используется полностью.

Площадь посева зерновых и зернобобовых (ограничения 3 и 4) по оптимальному решению составляет 3167,4 га. Площадь озимых культур (ограничения 3 и 4) формируется на уровне 1480,0 га (при нижней и верхней границе соответственно 1 080 и 1 620 га). Максимально возможных значений достигает площадь сахарной свеклы, подсолнечника и сои (соответственно 810, 675 и 1 080 га). Площадь пара берется по минимально допустимой границе в 270 га.

Все озимые культуры размещены по хорошим предшественникам. Излишки площадей по таким культурам отсутствуют.

Таблица 10. Выполнение договорных обязательств по реализации продукции, ц

Продукция	Объемы реализации по плану	Объемы реализации по решению	Объемы реализации сверх плана
Пшеница	23 000	55660,6	32660,6
Ячмень	12 000	19028,1	7028,1
Сахарная свекла	95 000	390420,0	295420
Молоко	20 000	22870,0	2870

Если реализация пшеницы, ячменя и сахарной свеклы сверх плана объясняется выгодностью данных видов продукции, то перевыполнение плана по молоку связано с тем, что поголовье крупного рогатого скота было зафиксировано на фактическом уровне.

Анализ обеспеченности отрасли животноводства кормами показывает, что по оптимальному решению излишек кормов составит 10228,7 ц к.ед. Этот излишек образуется за счет соломы, которая является побочной продукцией при производстве зерновых и зернобобовых культур. Наблюдается избыток в рационе переваримого протеина (около 49 т), что свидетельствует о необходимости корректировки рационов кормления.

Сумма чистого дохода по оптимальному решению составляет 50673,3 тыс. руб., а уровень рентабельности – 58,79%.

11