2.7 Элементы алгебры логики

Логика – это наука о формах и способах мышления.

Основу любого дискретного вычислительного устройства со­ставляют элементарные логические схемы. Работа этих схем ос­нована на законах и правилах алгебры логики, которая оперирует двумя понятиями: истинности и ложности высказывания.

Алгебра логики — раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Под высказыванием понимается предложение, в котором рассматривается, что оно истинно или ложно.

Аппарат алгебры логики (булевой алгебры) создан в 1854 г. Дж. Булем как попытка изучения логики мышления математическими методами. Впервые практическое применение булевой алгебры было сделано К. Шенноном в 1938 г. для анализа и разработки релейных переключательных сетей, результатом чего явилась разработка ме­тода представления любой сети, состоящей из совокупности пере­ключателей и реле, математическими выражениями и принципов их преобразования на основе правил булевой алгебры.

Логические операции.

1. Логическое отрицание (инверсия);

2. Логическое умножение (коньюнкция);

3. Логическое сложение (дизьюнкция).

Логическое отрицание делает истинное высказывание ложным, а ложное – истинным.

Отрицание отображает противоположные явления: «высокий - низкий», «толстый - худой», «да - нет» и т. п.

Отрицание определяется таблицей истинности высказывания (таблица 2.4).

Таблица истинности - табличное представление вычислительной (логической) схемы (операции), в котором перечислены все возмож­ные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата опе­рации) для каждого из этих сочетаний.

Операцию логического отрицания над логическим высказыванием А в алгебре логики обозначают А и над символом, сверху указывается черта и читается «не А»..

Например высказывание В, являющееся отрицанием высказывания А обозначается: В=¯¯А

Таблица 2.4 - Истинность функции логического отрицания

Высказывание А	Результирующее высказывание
1	0
0	1

Логической конъюнкцией высказываний называется сложное высказыва­ние, которое является истинным тогда и только тогда, когда истинны все простые составляющие высказывания.

Конъюнкция высказываний В1 и В2 обозначается как «В1 & В2» или «В1·В2» и читается как «В1 и В2». Таблица истинности конъюнкций представлена в таблице 2.5.

Таблица 2.5 - Истинность конъюнкции высказываний

Простые высказывания		Результирующее высказывание
В1	В2	В1&В2
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Логической дизъюнкцией высказываний называют сложное высказыва­ние, которое является истинным тогда, когда истинным явля­ется хотя бы одно из простых высказываний, включенных в сложное высказывание. Если оба высказывания ложны, то сложное высказывание является ложным.

Дизъюнкция высказываний В1 и В2 обозначается «Bl v В2» и читается «В1 или В2». Таблица истинности дизъюнкции выска­зываний приведена в таблице 2.6.

Таблица 2.6 - Истинность дизъюнкции высказываний

Простые высказывания		Результирующее высказывание
В1	В2	BlvB2
о	0	0
о	1	1
1	0	1
1	1	1