Полезное заключительное замечание о практическом значении изложенных выше теорем.

В каждой области человеческой деятельности, как правило, существует определенный «уровень значимости» вероятностей, т.е. такое граничное число α, что события, имеющие вероятность, меньшую α, считаются практически невозможными. Если в качестве примера взять производство изделий бытового назначения, то указанный уровень будет находиться где-то в пределах 0,01-0,001. Действительно, известие о том, что вероятность брака в изделии имеет порядок 0,001, не заставит покупателя отказаться от покупки изделия; вероятность 0,001 мала настолько, что можно рассматривать (событие) бракованную лампу, пылесос, велосипед и.т.п. как практически невозможное явление. Однако та же самая вероятность 0,001 уже не устроила бы нас, если бы речь шла, скажем, об изготовлении частей авиационного двигателя; в этом случае уровень значимости должен быть много меньше, чем 0,001.

Подойдём, например, с этой точки зрения к неравенству (1). Можно сделать следующее заключение. Пусть дано число ε>0. Выберем n столь большим, чтобы величина была меньше того уровня значимости α, о котором шла речь выше. При таком выборе α событие

будет практически достоверным.

Иначе говоря, мы можем быть практически уверены, что при столь большом числе опытов частота наступления события А будет с точностью до ε совпадать с его вероятностью.

§ 3. Центральная предельная теорема Ляпунова и её следствия.

В § 2 мы говорили об устойчивости средних характеристик большого числа опытов, об устойчивости сумм вида

.

Однако величина S_n сама является случайной величиной, а значит имеет некоторый закон распределения.

Оказывается, что при весьма общих условиях закон распределения S_n близок к нормальному закону. Этим и определяется особая роль нормального распределения, поскольку с суммами большого числа случайных слагаемых приходится иметь дело весьма часто как в самой теории вероятностей, так и в её многочисленных приложениях.

В общих чертах содержание центральной предельной теоремы (кратко ЦПТ) может быть высказано следующим образом:

Распределение суммы большого числа независимых случайных величин, при весьма общих условиях, близко к нормальному распределению.

Перейдём к формулировке ЦПТ.

Пусть дана последовательность независимых величин Составим «частичные» суммы» этих величин

(n=1,2…) .

От каждой из случайных величин перейдем к, «нормированной» случайной величине

математическое ожидание которой равно 0, а дисперсия 1.

Действительно

.

Введём условие Ляпунова, налагаемое на последовательность .

Условие Ляпунова. Если существует такое число δ>0, что

,

где , то говорят, что последовательность случайных величин удовлетворяет условию Ляпунова.

Условие Ляпунова является одним из возможных математических выражений того факта, что отдельные отклонения должны быть при больших n малы по сравнению с суммарным отклонением .

Проверим, в частности, что условие Ляпунова выполняется для одинаково распределенных слагаемых _.

В этом случае все М совпадают и равны некоторому числу m, все совпадают и равны некоторому d, , все совпадают и равны некоторому b. Тогда

.

И, значит, условие Ляпунова выполнено.

Теперь мы можем сформулировать ЦПТ в форме

А.М. Ляпунова.

Теорема. Если последовательность независимых случайных величин удовлетворяет условию Ляпунова, то для любых (конечных или бесконечных) a и b справедливо предельное соотношение

. (1)

Иначе говоря, в этом случае закон распределения нормированной суммы сходится к нормальному закону с параметрами: m=0, =1.

Замечание о роли нормального закона.

Допустим, что производится измерение какой либо физической величины. На результат измерения влияет огромное количество случайных факторов, таких, как колебание атмосферных условий, сотрясение измерительного прибора, личные особенности наблюдателя и т.д. Каждый из этих факторов, взятых в отдельности, порождает ничтожную ошибку ξ_i в измерении данной величины. Все такие незначительные ошибки суммируются, так, что суммарная ошибка ν представляется в виде суммы большого числа случайных величин ξ_к с малыми значениями; часто можно считать _ξк независимыми. И хотя закон распределения каждой из этих величин нам неизвестен, тем не менее (в виду ЦПТ) можно уверенно заключить, что вся сумма ν будет иметь закон распределения близкий к нормальному.

Исходя из сказанного выше, при математической обработке результатов измерения исходят из следующего постулата: случайная ошибка измерения подчиняется нормальному закону распределения. Из двух параметров этого закона один, а именно математическое ожидание, равен нулю. Второй параметр – среднее квадратичное отклонение – характеризует, в известном смысле, точность измерений.

Другой важный пример, характеризующий роль нормального распределения в приложениях теории вероятностей, дает массовое производство, существующее во многих отраслях современной промышленности. В процессе массового производства изготавливаются большие партии однотипных изделий. Все наиболее существенные характеристики выпускаемых изделий должны, естественно, соответствовать определенному стандарту однако в действительности наблюдаются отклонения от стандарта, которые порождаются причинами случайного характера (следует, учесть, что выпуск изделия связан, как правило, с большим числом операций, некоторые из них не могут быть выполнены абсолютно точно). Каждая из этих причин сама по себе порождает ничтожную ошибку ξ_i (это и есть, в каком то смысле, условие Ляпунова, что «достаточно вероятные» значения слагаемых ξ_к должны быть при больших n малы по сравнению со всей суммой ν_n), но, складываясь, такие ошибки могут давать вполне ощутимые отклонения от стандарта. И здесь, так же как в случае ошибок измерения, имеются все основания считать, что суммарное отклонение от стандарта подчиняется нормальному распределению.

Подобных примеров можно привести много в разных областях науки и техники. Они объясняют, почему нормальный закон так часто возникает в задачах прикладного характера.

Приведём пример, иллюстрирующий ЦПТ .

Пример 1. Доска Гальтона.

Прибор Ф. Гальтона (1822-1911) состоит из слегка наклоненной прямоугольной доски в которую вбито в шахматном порядке большое число гвоздиков (рис.1) Сверху доски, в середине, помещается воронка , из которой выпускаются шарики: диаметр всех шариков одинаков и несколько меньше расстояния между гвоздиками. После столкновения с гвоздиками каждого ряда, шарик скатывается в одно из вертикальных отделений внизу доски, фиксирующих место выхода шарика из последнего ряда гвоздиков. Направим ось ОХ вдоль нижнего ребра доски, поместив начало в центре указанного ребра; за единицу масштаба примем расстояние между соседними гвоздиками.

При каждом столкновении шарик может пройти либо в левый, либо в правый просвет того же ряда гвоздиков.

Рассмотрим траекторию одного из шариков. Обозначим через ξ₁ смещение вдоль оси ОХ, полученное шариком между первым и вторым столкновениями с гвоздиками (при проходе через первый ряд гвоздиков), через ξ₂ – смещение полученное между вторым и третьим столкновениями, ξ_к – при проходе через к-ый ряд гвоздиков. Через ξ обозначим суммарное смещение, полученное после прохождения всех рядов гвоздиков, очевидно, имеем: ξ=ξ₁+ξ₂+…+ξ_n , где n число рядов.

Каждая из величин ξ₁, ξ₂, …, ξ_n представляет собой случайную величину, принимающую только два значения, +1 (проход шарика в правый просвет) и -1 (проход шарика в левый просвет), с вероятностями ; её математическое ожидание равно 0, а дисперсия 1. Если n достаточно велико, то на основании ЦПТ (применённой к сумме большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин), можно считать, что ξ имеет распределение, близкое к нормальному, с центром в точке 0 и средним квадратичным отклонением . Количество шариков в каждом отделении, согласно частотному смыслу вероятности, должно быть пропорционально вероятности попадания в отделения и тем самым соответствующей ординате плотности нормального распределения. Поэтому кривая «огибающая» лежащие в отделениях шарики отличается от нормальной кривой лишь постоянным множителем. Опыты показывают, что даже при не очень больших n расположение шариков отчётливо воспроизводит нормальную кривую.

Применим теперь теорему Ляпунова к схеме Бернулли.

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью р (0<р<1) наступает

событие А. Рассмотрим случайную величину ν_n число наступления события А в n опытах. Очевидно,

ν_n= ξ₁+ξ₂+…+ξ_n ,

где ξ_i обозначает число наступлений события А в i -м опыте (i=1,2,...,n). Случайные величины ξ_i имеют один и тот же закон распределения, так что условия теоремы Ляпунова выполнены. Но тогда должна быть справедлива формула (1), которая в данном случае принимает вид:

(2)

(напомним, что =np, =npq см. §7,8 гл II).

Это равенство носит название интегральной предельной теоремы Лапласа.

Покажем, что из него следует интегральная приближенная формула Лапласа (формула(3) §12 гл.II).

Событие

равнозначно

Положим

,

так, что

.

Тогда левая часть формулы (2) запишется:

. (3)

Правую же часть, учитывая соотношение: , (где Ф(x)-функция Лапласа), можно представить как

.

Приравнивая выражение, стоящее под знаком предела в (2), к выражению (3), получаем приближенное равенство

,

которое есть не что иное, как интегральная приближённая формула Лапласа.