1.1.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи

Задача 7*. Розрахунок стержня на позацентровий стиск

Чавунний короткий стержень, поперечний переріз якого зображений на рисунку 1.5, стискається поздовжньою силою Р, прикладеною в точці P.

Необхідно:

1. знайти допустиму стискальну силу Р при даних розмірах перерізу і допустимих напруженнях для чавуна на стиск та на розтяг ;

2. побудувати епюру нормальних напружень в поперечному перерізі при допустимому навантаженні;

3. побудувати ядро перерізу.

Таблиця 1.1

Варіант	а, м	Матеріал (чавун)
0	0,5	СЧ 12
1	0,4	СЧ 15
2	0,3	СЧ 18
3	0,5	СЧ 21
4	0,4	СЧ 24
5	0,3	СЧ 28
6	0,5	СЧ 32
7	0,4	СЧ 35
8	0,3	СЧ 38
9	0,5	СЧ 12

*Нумерація задач починається в посібнику [1]

Рисунок 1.5 - Схеми до виконання задачі 7

Приклад виконання задачі 7

Коротка чавунна колона (чавун СЧ 12) заданого поперечного перерізу (рис.1.6) стискається силою Р, що прикладена в точці Р. Виконати розрахунок колони згідно з наведеним в задачі 7 порядком виконання.

Рисунок 1.6 - Схема до прикладу задачі 7

Дано:

чавун СЧ 12,

a = d = 0,3 м.

Знайти:

Р_max, , ядро перерізу -?

Розв’язування

1. Обчислюємо геометричні характеристики заданого перерізу

   0. Координати центра ваги перерізу.

Оскільки фігура має вісь симетрії, то центр ваги буде лежати на цій осі ( ).

Зобразимо дану складну фігуру у вигляді комбінації трьох простих: півкола, квадрата та прямокутника з від’ємною площею, центи ваги яких , та , відповідно, показані на рисунку 1.7. Індекси вказують належність позначення до відповідної фігури.

Площі цих фігур

;

Загальна площа фігури

(м²).

Проведемо допоміжну вісь z. Відстані від координат центрів ваги цих площ до осі z

;

;

.

Шукаємо координату фігури до допоміжної осі z.

= = 0,218 (м).

Проводимо вісь z_с, яка разом з віссю y_с утворює систему головних центральних осей

Рисунок 1.7 - Визначення центра ваги перерізу

1.2. Визначаємо головні моменти інерції перерізу

Моменти інерції окремих фігур в їхніх центральних осях

J_z1 =

J_y1 =

J_y2 = J_z2 = = = (м⁴);

J_z3 = =

J_y3 = =

Знаходимо координати центрів ваги С₁(a₁; b₁), С₂(a₂; b₂) та С₃ (a₃; b₃) в системі центральних осей z_с – y_с.

a₁ = a₂ = a₃ = 0 (м),

b₁ = y₁ – y_c = 0,364 – 0,218 = 0,146 (м),

b₂ = y₂ – y_c = 0,15 – 0,218 = -0,068 (м),

b₃ = y₃ – y_c = 0,025 – 0,218 = -0,193 (м).

Центральні осьові моменти інерції перерізу

J_zс = J_z1 + b₁² А₁+ J_z2 + b₂² А₂ – J_z3 – b₃² А₃ = +0,146²0,0353+ + + (-0,068)²0,09 – – (-0,193)²*0,005 = (м⁴);

J_ус = J_у1 + a₁² А₁+ J_у2 + a₂² А₂ – J_y3 – a₃² А₃ =

= J_у1 + J_у2 – J_y3 = + – = (м⁴);

1.3. Визначаємо головні радіуси інерції перерізу

(м²);

(м²).

2. Будуємо нейтральну лінію та визначаємо небезпечні точки перерізу.

Будуємо нейтральну лінію через відрізки, які вона відсікає на головних осях

(м);

(м);

де (м), (м) – координати точки прикладення сили Р в системі головних центральних осей z_с – y_с.

Відкладаємо в масштабі отримані відрізки та на осях та проводимо нейтральну лінію (рис. 1.8).

Небезпечні точки перерізу є найвіддаленішими від нейтральної лінії. Це точки А і В (рис. 1.8). Координати цих точок в системі z_с – y_с :

т. А (точка максимального розтягу „+”) (м), (м);

т. В (точка максимального стиску „-”) (м), (м).

Рисунок 1.8 - Епюри нормальних напружень

3. Максимальне значення сили Р.

3.1. Визначаємо допустимі напруження матеріалу стержня.

Для чавуну СЧ 12 границі міцності при розтягу і стиску, відповідно МПа, МПа (додаток Б, таблиця Б.5).

Задамося запасом міцності n = 4 (орієнтовні межі 3…5 для крихких матеріалів).

Допустимі напруження матеріалу становлять

(МПа);

(МПа).

3.2. Визначаємо максимально допустиме значення сили Р за умов міцності.

;

.

Звідки

(Н);

(Н).

Беремо меншу за модулем силу:

Р_max = 1,07 МН.

3.3. Будуємо епюру нормальних напружень в перерізі.

Оскільки ця епюра лінійна, то достатньо визначити напруження в двох точках, зокрема в точках А та В. При прийнятій силі Р = -1,07 МН (знак „-” показує, що вона стискальна)

(МПа);

(МПа).

Будуємо епюру за отриманими значеннями, відкладаючи в масштабі відрізки (рис. 1.8) та візуально перевіряємо чи перетинає епюра нейтральну лінію в нулі.

3.4 Будуємо ядро перерізу

Проводимо характерні дотичні 1-1, 2-2 ... (нейтральні лінії) до перерізу. За координатами перетину з головними осями , визначаємо координати точки , прикладення сили Р, при якій буде реалізована ця дотична.

Використовуємо формули

; .

Для зручності результати обрахунків наводимо в вигляді таблиці 1.2.

Таблиця 1.2

лінія	, м	, м	точка	, м	, м
1-1	-0,218		Р1	0,065	0
2-2		-0,15	Р2	0	0,048
3-3	0,294	-0,294	Р3	-0,048	0,025
4-4	0,232		Р4	-0,061	0
5-5	0,294	0,294	Р5	-0,048	-0,025
6-6		0,15	Р6	0	-0,048

З’єднуємо послідовно точки Р₁, Р₂, ... Р₆ та заштрихуємо отриману область (рис. 1.9). Ядро перерізу побудовано.

Рисунок 1.9 - Побудова ядра перерізу

Питання до захисту розрахунково-графічної роботи (задача 7)

1. Записати рівняння нейтральної лінії при позацентровому розтягу-стиску.

2. Записати умову міцності при позацентровому розтягу-стиску.

3. Чому при позацентровому розтягу-стиску зазвичай записують дві умови міцності?

4. Визначити напруження у вказаній точці, використовуючи аналітичний та графічний (з епюр) способи.

5. Побудувати нейтральну лінію, якщо сила Р прикладена у вказаній точці.

6. Що таке ядро перерізу?

7. Для чого потрібно будувати нейтральну лінію?

8. В якій системі координат визначаються координати точок, що входять в розрахункові формули умов міцності?

9. В яких елементах конструкцій реалізуються деформації позацентровому розтягу-стиску – навести приклади.

10. За яким алгоритмом виконують розрахунки стержня при позацентровому розтягу-стиску?