5 Розрахунки при ударних навантаженнях (impact load)

5.1 Короткі теоретичні відомості

5.1.1 Розрахунок при осьовій дії ударного навантаження

Явище удару має місце тоді, коли швидкість розглядуваного елемента конструкції або стичних з ним частин протягом дуже малого проміжку часу змінюється на скінченну величину. Великі прискорення (сповільнен­ня), що виникають при цьому, приводять до появи значних сил інерції, які діють у напрямі, протилежному напряму прискорень, тобто в напрямі руху тіла. У випадку падаючого вантажу силу удару (динамічну силу Р_д) можна обчислити за формулою

, (5.1)

де Q – вага падаючого вантажу;

g – прискорення вільного падіння;

j(t) – прискорення падаючого вантажу після зіткнення з перешко­дою.

Проте визначення сили удару Р_д(t) за формулою (5.1) пов'язане з великими труднощами, оскільки не відомо час співударяння, тобто час, протягом якого швидкість рухомого тіла зменшується від свого максимального значення в момент зіткнення з тілом, що ударяється (початок удару), до нуля після деформації останнього (кінець удару).

У зв'язку із зазначеними труднощами, що виникають при визначенні динамічних напружень та деформацій, в інженерній практиці виходять з так званої технічної теорії удару, яка ґрунтується на таких припущеннях.

1. При співударянні тіло, що ударяє, рухається разом з тілом, що зазнає удару, до розвитку найбільших деформацій. При цьому немає пружних хвиль у тілах і пов'язаних з ними відскоків тіла, що ударяє (такий удар називають непружним).

2 . За проміжок часу співударяння деформації поширюються по всьо­му об'єму тіла, що зазнає удару, а залежність між силами та деформація­ми, що виникають, відповідає закону Гука.

3. При співударянні рухомих тіл зменшення кінетичної енергії системи дорівнює збільшенню потенціальної енергії деформації тіл. При цьому нехтують втратами енергії на місцеві пластичні деформації, а також інер­цією маси тіла, що зазнає удару.

4. Вважають, що система тіл при співударянні має один ступінь вільності, тобто положення системи визначається однією координатою.

Формули для визначення динамічних напружень та деформацій при осьовому ударі наведемо на при­кладі системи (рис. 5.1), що складається з вертикально розміщеного пружного призматичного стержня з жорст­кістю при розтяганні (стисканні) c = EF/l, на торець якого з висоти H вільно падає вантаж Q.

Припустимо, що вантаж прикладається до стержня статично, тобто навантаження повільно наростає від нуля до максимального значення (рис. 5.1, а) і стискає стержень на величину δ_с. При падінні вантажу з висо­ти H унаслідок удару на стержень діятиме динамічна сила Р_д, більша ніж сила Q і укорочення стержня δ_д буде більше за δ_с (рис. 5.1, б).

Зміна переміщень та деформацій при ударній дії навантаження Q по­рівняно з переміщеннями (деформаціями) при статичній дії того самого навантаження характеризується коефіцієнтом динамічності

, (5.2)

звідки динамічну деформацію через статичну можна виразити формулою

. (5.3)

Ураховуючи лінійний зв'язок між напруженнями та деформаціями, а також припускаючи, що модулі пружності при статичній і ударній дії на­вантаження однакові, що з достатньою точністю підтверджується експе­риментом, можна за аналогією з формулою (5.3) встановити зв'язок між статичним та динамічним напруженнями:

, (5.4)

де

(5.5)

– напруження, яке виникає в стержні при стисканні силою, що дорівнює вазі падаючого вантажу.

Щоб використати формули (5.3), (5.4), потрібно визначити коефіцієнт динамічності k_д. Розраховуватимемо на підставі теорії удару, маючи на увазі, що залежність між силами та деформаціями має один і той самий вигляд як при статичних, так і при динамічних навантаженнях, тобто

; (5.6)

, (5.7)

де – статичне навантаження, що дорівнює вазі падаючого вантажу (у цьому разі = Q);

– динамічне навантаження, що є силою інерції тіла, яке ударяє, в перший момент його зіткнення зі стержнем.

Коефіцієнт динамічності

. (5.8)

Маючи на увазі, що ( υ – швидкість падаючого вантажу в мо­мент початку удару), коефіцієнт динамічності можна записати у вигляді

. (5.9)

Тепер, виходячи із залежності (5.4), запишемо вираз для напружень при ударі:

(5.10)

або

. (5.11)

Аналогічно визначаємо зусилля при ударі:

. (5.12)

З аналізу формул (5.10) і (5.11) випли­ває, що при рівномірно розподілених напружен­нях, однакових в усіх поперечних перерізах стержня, динамічні напруження залежать не тільки від площі F поперечного перерізу, як це має місце при дії статичного навантаження в статично визначуваних системах, а й від дов­жини l і модуля пружності Е матеріалу стержня. Отже, можна сказати, що динамічні напруження в стержні при ударі залежать як від об'єму, так і від якості матеріалу стержнів. При цьому чим більший об'єм пружного стержня, що зазнає удару (чим більша «енер­гоємність» стержня), тим менші динамічні напруження, а чим більший модуль пружності матеріалу стержня, тим динамічні напруження більші.

Сказане справедливе для призматичних стержнів (стержнів однако­вого поперечного перерізу).