4.1.5 Розрахунки на стійкість за допомогою коефіцієнтів зменшення основного допустимого напруження

Можна вважати, що нейтрально стиснуті стержні втрачають свою несучу здатність від втрати стійкості раніше, ніж від втрати міцності, оскіль­ки критичне напруження завжди менше за границю текучості або границю міцності:

σ_кр < σ_н,

де σ_н = σ_т – для пластичних матеріалів;

σ_н = σ_в – для крихких матері­алів.

Слід нагадати, що для стержнів малої гнучкості (λ < λ₀) важко казати про явище втрати стійкості прямолінійної форми стержня, як це має місце для стержнів середньої та великої гнучкості. Несуча здатність стержнів малої гнучкості визначається міцністю матеріалу.

Критичне напруження для центрально стиснутих стержнів середньої та великої гнучкості, мабуть, більш небезпечне, ніж границя текучості для пластичних матеріалів або границя міцності для крихких матеріалів при простому розтяганні. Очевидно, що при практичному вирішенні питання щодо стійкості стержня не можна припустити виникнення в ньому кри­тичного напруження, а слід взяти відповідний запас стійкості.

Щоб визначити допустиме напруження на стійкість, потрібно вибрати коефіцієнт запасу . Тоді

. (4.13)

Коефіцієнт запасу на стійкість беруть дещо більший, ніж основний кое­фіцієнт запасу на міцність ( > п ). Це обумовлено тим, що для центрально стиснутих стержнів низка обставин, неминучих на практиці (ексцентриситет прикладання стискальних сил, початкова кривина і неоднорідність стержня), сприяють поздовжньому згинанню, тоді як при інших видах деформації ці обставини майже не відбиваються. Коефіцієнт запасу стійкості для сталей вибирають у межах 1,8...3,0; для чавуну – 5,0...5,5; для деревини – 2,8...3,2. Зазначимо, що менші значення вибирають для меншої гнучкості.

Допустиме напруження на стійкість та допустиме напруження на міцність при стисканні взаємно пов'язані. Складемо відношення їх:

, або . (4.14)

Позначивши

,

матимемо

. (4.15)

Тут φ – коефіцієнт зменшення основного допустимого напруження при розрахунку на стійкість. Цей коефіцієнт для кожного матеріалу мож­на обчислити при всіх значеннях гнучкості λ й подати у вигляді таблиці або графіка залежності φ від λ. Значення коефіцієнта φ для сталей, чаву­ну та деревини наведено в таблиці Е.1 (додаток Е). Користуючись аналогічними табли­цями, можна досить просто розрахувати стержні на стійкість.

Складемо умову стійкості стиснутих стержнів:

. (4.16)

Оскільки

, а ,

то умова стійкості набирає вигляду

. (4.17)

При розрахунку на стійкість місцеві ослаблення перерізу практично не змінюють значення критичної сили, тому в розрахункові формули вводиться повна площа F_бр поперечного перерізу.

Розглянемо два види розрахунку на стійкість стиснутих стержнів – перевірний та проектувальний.

4.1.6 Перевірний розрахунок стиснутих стержнів

Порядок перевірного розрахунку на стійкість при використанні таблиці коефіцієнтів φ такий:

1) виходячи з відомих розмірів та форми поперечного перерізу, визначаємо найменший осьовий момент інерції , площу , обчислюємо мінімальний радіус інерції

та гнучкість

;

2) за таблицею знаходимо коефіцієнт φ та обчислюємо допустиме на­пруження на стійкість за формулою

;

3) порівнюємо дійсне напруження з допустимим напруженням на стійкість:

.

Приклад. Перевіримо на стійкість стиснуту дерев'яну колону (рис. 4.5) квадратного поперечного перерізу (а =15 см) завдовжки l = 5 м, якщо основне допустиме напруження [σ_–]=10 МПа, а стискальна сила Р = 100 кН.

Визначаємо такі величини:

площу –

см²;

момент інерції –

см⁴;

радіус інерції –

см;

зведену довжину –

м = 350 см;

гнучкість –

.

З таблиці Е.1 (додаток Е) інтерполяцією знаходимо, що

.

Тоді

МПа;

МПа.

Оскільки σ = 4,44 МПа < 4,74 МПа, то стійкість колони забезпечено.