1.3. Геометричне означення ймовірності

Припустимо, що внаслідок експерименту у деякій області  навмання з’являється точка . Необхідно визначити ймовірність Р(А) того, що  А, де А – область, що належить , А . За означенням

де m(А) та m() – геометрична міра області А та області  (довжина, площа, об’єм).

1.4. Теорема додавання і формула множення ймовірностей

Умовною ймовірністю події А за умови, що сталася подія В, називається число Р(А/В), яке обчислюють за формулою:

Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В), Р(В) 0.

З цього означення випливає формула множення ймовірностей для двох подій

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)= Р(В)Р(А/В).

Ця формула узагальнюється для nподій:

Р(A₁A₂ ... А_п)=Р(А₁) Р(А₂/A₁) Р(A₃/A₁A₂)... Р(А_n/A₁, А₂, ..., A_n–1).

Події А і В називаються незалежними, коли виконується співвідношення

Р(А В)=Р(А)Р(В).

Теорема. Для довільних подій А та В має місце формула

Р(А  B)= Р(А) + Р(В) — Р(АВ),

для n подій – формула

.

1.5. Формула повної імовірності, формула Байєса

Сукупність подій Н₁,Н₂, …, Н_n називається повною групою подій, коли

і , i, j = 1,2, …, n, i j,

де  – вірогідна подія;  – неможлива подія.

Теорема 1. Якщо Н₁,Н₂, …, Н_n – повна група подій та Р(Н_і)0, і = 1,2,…n, то для довільної події А виконується рівність (формула повної імовірності)

Теорема 2. В умовах теореми 1 для довільної події А, такої, щоР(А)0, виконується формула Байєса

1, 2, …, n.

1.6. Схема незалежних випробувань Бернуллі

Нехай імовірність настання події А при одиничному випробуванні дорівнює p. Випробування повторюється n разів, тобто реалізуються nнезалежних випробувань. Імовірність Р_n(m) того, що внаслідок цих n випробувань подія А станеться m разів, визначають за формулою Бернуллі

m = 0, 1, 2,…, n, (1)

де q=1 – p-імовірність появи протилежної події А в одиночному випробуванні.

Сукупність чисел, визначених за формулою (1), називається біномним розподілом імовірностей.

Значення m = m₀, за якою ймовірність (1) набуває максимального значення, називається найімовірнішим.

Якщо (n+1)р – дробове число, то m₀ набуває єдиного значення

де [...] – символ цілої частини числа. Коли величина (n+1)р – ціла, то m₀ набуває двох значень

та

Розглянемо тепер випадок, коли внаслідок кожного з n незалежних випробувань може статися одна з k попарно несумісних подій А₁, А₂, …, А_k з імовірностямир₁, р₂, …, р_k відповідно (р₁+ р₂+ …+ р_k=1). Позначимо через m_iкількість тих випробувань, в яких сталася подія А_i, i=1, 2, …, k. Тоді ймовірність того, що подія А₁настане m₁разів, подія А₂–m₂ разів, …, подіяА_k –m_k разів, причому m₁+ m₂+... + m_k= n, визначають рівністю

Це поліноміальний розподіл імовірностей. Для великих значень n (десятків, сотень, тисяч) та не малих значень p і q для біномного розподілу використовують такі наближені формули:

(2)

де

(3)

де – функція Лапласа. (4)

За великих значень n та малих значень p (порядку 1/n) використовують наближені формули:

(5)

(6)

Формула (2) базується на локальній теоремі Муавра–Лапласа, (3) – на інтегральній теоремі Муавра–Лапласа, (5) та (6) – на формулі Пуассона. АсимптотикуМуавра–Лапласа (формули (2) та (3) застосовують, якщо npq>9. У противному точніші результати дає асимптотика Пуассона (формули (5) та (6).

Зауваження 1. Наближена формула (3) справедлива тоді, коли нерівності в ній строгі.

Зауваження 2. Обчислення за формулами (2), (3), (5), (6) виконується з табл. 1 – 4 (див. дод. 2).