Числа и уравнения подобия

Обычно проводят экспериментальные исследования процесса теплообмена на моделях с переносом результатов на реальные объекты. Для обобщения результатов используют теорию подобия, которая позволяет определять коэффициент теплоотдачи в зависимости от безразмерных комплексов, характеризующих процесс теплообмена и условия движения.

Безразмерное число Рейнольдса. В результате исследований было установлено, что режим движения жидкости определяется безразмерным комплексом, который называют числом подобия Рейнольдса

где – характерный линейный размер (диаметр, длина и т.п.), м;

w - скорость движения, м/с;

 - коэффициент кинематической вязкости жидкости, м²/с.

Число Re - безразмерная величина; его физический смысл – характеризует отношение сил инерции к силам вязкости:

В зависимости от скорости движения наблюдаются режимы:

1) движение спокойное безвихревое, частицы жидкости, двигаясь по параллельным траекториям, не перемешиваются друг с другом - это ламинарный режим;

2) при увеличении скорости наблюдается переходный режим, в котором возникают первые вихри;

3) при очень высокой скорости все сечение потока представляет собой массу хаотически движущихся частиц, движение жидкости неупорядоченное, вихревое, с интенсивным перемешиванием, наблюдаются поперечный и продольный перенос вещества в потоке - режим турбулентный. Но даже при наличии турбулентного режима движения вблизи поверхности сохраняется подслой с ламинарным движением, в котором процесс теплообмена происходит теплопроводностью.

Существуют определенные критические значения числа Рейнольдса, соответствующие переходу от одного режима течения к другому. Эти критические значения могут быть различными в зависимости от формы поверхности, с которой происходит теплообмен.

а) при продольном обтекании пластины = ;

б) при безнапорном движении воды в каналах и руслах рек Re =500;

в) при течении внутри труб Re ₁=2300, Re ₂=10000

Ламинарный режим в технике встречается редко (при движении вязких жидкостей: нефть, мазут). В технике движение происходит при переходном или турбулентном режиме.

Если поток обтекает пластину в продольном направлении, характерный размер - длина пластины l.

При движении внутри трубы характерный размер d .

При движении в каналах некруглого сечения l= , где f – площадь поперечного сечения, p – смоченный периметр.

Безразмерное число Прандтля. Учет физических свойств жидкости осуществляется числом подобия Прандтля

,

где a – коэффициент температуропроводности, м²/с.

Значение числа Прандтля принимается в зависимости от температуры среды по справочным данным.

Определяемым в процессах конвективного теплообмена является число Нуссельта

Nu = ,

которое является безразмерным коэффициентом теплоотдачи, выражающим отношение термического сопротивления теплопроводности /λ пограничного слоя жидкости к термическому сопротивлению теплоотдачи 1 / . Из Nu находим .

Для вынужденного движения жидкости теория подобия позволяет установить однозначную связь между включающим значение  числом подобия Нуссельта и числами подобия Re и Pr.

Эта связь выражается функцией

Nu = ƒ(Re, Pr, /d),

где /d есть характеристика геометрической формы.

Для определения коэффициента теплоотдачи при вынужденной конвекции используют уравнения подобия, имеющие вид

Коэффициент “c” и показатели “n” и “m” выбирают в зависимости от режима движения теплоносителя и формы канала (или поверхности теплообмена).

При течении жидкостей внутри труб рекомендуются следующие расчетные уравнения. При ламинарном движении жидкости Re  2300:

Nu_d = 1,55(Re_d Pr_ж d/ )^0,33(_ж/_с)^0,14_,

где  - коэффициент динамической вязкости, Па с.

При турбулентном режиме движения Re >10000

Nu_d = 0,021Re_d^0,8 Pr_ж^0,43(Pr_ж/Pr_с)^0,25  ,

где  - поправка на начальный участок_, учитывает изменение  по длине канала.

Число Грасгофа. При свободном движении жидкости определяющим числом подобия вместо Re служит число Грасгофа. Оно характеризует отношение подъемной силы, возникающей вследствие разности плотностей в результате теплового расширения жидкости, к силам вязкости

.

где = 9,81 м/с² - ускорение свободного падения;

- температуры поверхности и теплоносителя, °С.

 - температурный коэффициент объемного расширения, 1/К; он представляет собой относительное изменение объема при изменении температуры на один градус при постоянном давлении.

Для капельных жидкостей значение берется из таблиц физических свойств.

Для газов ;

где  абсолютная температура, К.

В случае свободного движения число Нуссельта Nu:

Nu = f (Gr, Pr).

Для определения коэффициента теплоотдачи при свободной конвекции используют уравнения подобия, имеющие вид

,

Выбор коэффициента “c” и показателя “n” зависит от режима движения, формы и положения поверхности теплообмена.

Значение коэффициента теплоотдачи при свободном движении около вертикальных поверхностей в условиях, когда 10³ < Gr_ж Pr_ж < 10⁹ (ламинарный режим), определяется из выражения

Nu_h = 0,75 (Gr_h Pr_ж)^0.25 (Pr_ж / Pr_с)^0,25,

Если Gr_жPr_ж > 10⁹ (турбулентный режим), то

Nu_h=0,15 (Gr_h Pr_ж)^0.33 (Pr_ж / Pr_ж)^0.25.

Определяющей температурой, по которой выбираются значения физических параметров, является температура среды вдали от стенки. В качестве определяющего размера принимается высота h.

Поправка = учитывает влияние на теплоотдачу изменения физических свойств среды в зависимости от температуры, т.е. направление теплового потока (нагревание или охлаждение) Значение числа Прандтля для среды Pr_ж выбирается по температуре жидкости t_ж вдали от поверхности, Pr_с – по температуре стенки t_c.

Эта поправка справедлива для капельных жидкостей. При расчете теплоотдачи для газов ее не учитывают, т.к. число Прандтля для газов и воздуха в широком интервале температур практически не изменяется. В этом случае величина поправки обращается в единицу.