1.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если функция непрерывна в каждой точке этого отрезка. Относительно таких функций справедливы следующие утверждения.

Теорема 2.1 (Больцано, достаточное условие существования нуля функции). Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и иа концах этого промежутка принимает значения разных знаков т.е.

.

Тогда найдется такая точка такая , что f(c)=0.

Теорема 2 (Вейерштрасса). Функция f(x), непрерывная в замкнутом промежутке [а, b], ограничена на нем и достигает на этом промежутке своих наименьшего и наибольшего значений т.е. существуют такие , что

Теорема 3. (о промежуточных значениях функции). Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда область значений E(f)=[m,M] , т.е. для любого числа С, m C M, найдется число такое, что

.

Вопросы к главе 2