4 Гр. Поверхности, образованные вращением кривых II порядка.

При вращении кривых II порядка (эллипсы, параболы, гиперболы), образуются поверхности, называемые: эллипсоидом, параболоидом, гиперболоидом вращения.

О пределитель поверхности:

Σ ( i, ℓ ), где i - ось вращения, ℓ - кривая.

а) эллипсоид вращения - образуется, если сферу сжать или растянуть вдоль одного из диаметров, его меридианом является эллипс. Если эллипс вращается вокруг большой оси, эллипсоид наз-ся вытянутым (рис.1); если вращение происходит вокруг малой оси, эллипсоид наз-ся сжатым или сфероидом (рис.2)

б) параболоид вращения – образуется при вращении параболы вокруг её оси.

Параболоидом вращения является поверхность параболических зеркал, применяемых в прожекторах и фарах автомобилей, где используется фокальное свойство параболы; если в фокусе параболы поместить источник света, то световые лучи, отражаясь от параболы, будут распространяться параллельно друг другу. На этом же свойстве основано и действие звукоулавливателей и радиотелескопов.

в) гиперболоид вращения – образуется вращением гиперболы вокруг её оси (т.е. данная поверхность может быть образована т.ж. вращением прямой линии, что мы и рассмотрели выше).

Лекция 8 Пересечение поверхностей.

Большое место в НГ уделяется решению позиционных задач, в которых рассматривается взаимная принадлежность геометрических образов относительно плоскостей проекций и друг друга.

Итак, к позиционным задачам начертательной геометрии относятся задачи на пересечение поверхностей.

Линия пересечения 2-х поверхностей – это линия, каждая т-ка которой принадлежит одновременно обеим поверхностям. Строится она в общем случае методом вспомогательных секущих поверхностей или, иначе, методом посредников. В качестве посредников могут применяться пл-ти уровня, пл-ти общего положения, сферические поверхности и т.д. Это зависит от конкретных условий задачи.

Решение задачи упрощается, если обе поверхности или одна из них занимает частное положение в пространстве, т.е. являются проецирующими. В этом случае одна из пр-ий линии пересечения (ЛП) будет лежать на следе проецирующей поверхности, и задача сводится к построению недостающей пр-ии линии, лежащей на поверхности.

Свойство проецирующей поверхности:

Е сли одна из пр-ий линии, принадлежит проецирующей поверхности, то другая проекция линии совпадает со следом этой поверхности

Частные случаи пересечения поверхностей.

Существуют два случая частного пересечения поверхностей:

1. Обе пересекающиеся поверхности – проецирующие.

В данном случае пр-ии ЛП поверхностей будут совпадать с соответствующими следами этих поверхностей.

Задача1. Построить ЛП 2-х пл-тей.

Р ешение:

Пл-ти заданы следами:

Σ–фронт. проецирующая пл-ть;

Г – горизонт. проецирующая пло-ть

Задача 2. Построить ЛП горизонт-о проецирующего цилиндра Г с фронт-о проецирующей пл-тью Σ.

Решение:

Г ∩ Σ  m – ЛП

m – эллипс (в простр-ве)

на черт.:

m₂ ≡ Σ_П2 – прямая

m₁ ≡ Г₁ – окружность

В пространстве линия пересечения поверхности цилиндра Г с плоскостью Σ представляет собой эллипс. На эпюре горизонтальная проекция данной линии пересечения совпадает с горизонтальным следом цилиндра Г (Г_П1), а фронтальная проекция – с фронтальным следом плоскости Σ (Σ_П2).

Итак, m₂ ≡ Σ_П2 – прямая, m₁ ≡ Г_П1 – окружность.