16

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (tусур)

Радиотехнический факультет

Кафедра теоретических основ радиотехники

(ТОР)

Методы математического описания и расчёта сложной линейной электрической цепи в стационарном режиме

Расчетное задание по дисциплине «Основы теории цепей»

Проверил Выполнил

преподаватель каф. ТОР студент гр.

2005

1.Математическая модель цепи (ммц) на основе заданной схемы относительно токов ветвей

1.1. Для мгновенных значений при действии источников сигнала произвольной формы

Исходные данные:

J0=1 A

E1=6·e^j90 B, E2=6-12j B, E3=12·e^-90j B

=500=0,510³ рад/с,

L1=4 мГн, L2=4 мГн,

R1= 4 Ом, R2=4 Ом, R3=8 Ом,

C1=500 мкФ, C2=1000 мкФ.

При действии источников сигнала произвольной формы e(t) и j(t) ММЦ принимает вид (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1. Схема для ММЦ при действии источников сигнала произвольной формы.

В соответствие с рисунком 1.1 число узлов Nу=5, а число ветвей Nв=6. Следовательно, первый закону Кирхгофа позволяет составить N=(Nу-1)=5-1=4 линейных уравнений баланса токов, а второй закон Кирхгофа: N= (Nв - Ny + 1) =7 - 5 + 1=3 линейных уравнений баланса напряжений.

Составим систему уравнений по первому закону Кирхгофа:

1 -i1 - i4 - i3=0

2 i1 - i7 - i2=0

3 i2 + i3 + i5=0

4 i6 + J0 - i7=0

Составим систему уравнений по второму закону Кирхгофа:

I -u_C1+u_R1+u_L1=e1(t)

II u_C2 – u_R2 – u_L2 - u_R1=-e2(t)

III u_L2 + u_R2 - u_R3 + u_C1=-e3(t).

Перейдем к мгновенным значениям:

I -u_C1(t0) - (1/C1)∫i4dt + R1·i6 + L1· (di1/dt)=e1(t)

II u_C2(t0) + (1/C2) ·∫i2dt - R2·i5 - L2· (di5/dt) - R1· i6=-e2(t)

III L2· (di5/dt) + R2·i5 – R3·i3 + u_C1(t0) + (1/C1) · ∫i4dt=-e3(t)

1.2. Для комплексных значений при действии источников гармонических сигналов

Перейдём к комплексным значениям сопротивлений и комплексным источникам, при этом здесь и далее все комплексные токи и напряжения будем полагать амплитудными:

Z_L1=jwL1=j·0,510³·4·10^-3=2j, Ом

Z_L2=jwL2= j·0,510³·4·10^-3=2j, Ом

Z_C1=1/(jwC1)=1/(j·0,510³·500·10^-6)=-4j, Ом

Z_C2=1/(jwC2)= 1/(j·0,510³·1000·10^-6)=-2j, Ом

Z_R1=R1=4, Ом

Z_R2=R2=4, Ом

Z_R3=R3=8, Ом

E1=6·e^j90=6(cos90+j·sin90)=6j, B

E2=6-12j, B

E3=12·e^-90j=12(cos(-90)+j·sin(-90))=-12j, B

J0=1, A

При действии источников гармонического сигнала ММЦ для комплексных значения принимает вид (рисунок 1.2):

Рисунок 1.2. Схема для ММЦ при действии комплексных источников сигнала.

После подстановки полученных соотношений в систему уравнений для мгновенных значений при действии источников сигнала произвольной формы получим:

По первому закону Кирхгофа:

1 -I1 - I4 - I3=0

2 I1 - I7 - I2=0

3 I2 + I3 + I5=0

4 I6 + J0 - I7=0

По второму закону Кирхгофа:

I -I4·Z_C1 + I6·Z_R1· + I1·Z_L1=E1

II I2·Z_C2 - I5·Z_R2 - I5·Z_L2 - I6·Z_R1=-E2

III I5·Z_L2 + I5·Z_R2 – I3·Z_R3 + I4·Z_C1=-E3

1.3. Для постоянных значений при действии источников постоянных сигналов

При действии источников постоянных сигналов e(t)=E=const (рисунок 1.3) ММЦ примет вид:

Рисунок 1.3. Схема для ММЦ при действии источников постоянных сигналов.

Так как I4=I2=0, то система примет вид:

По первому закону Кирхгофа:

1 -I1 - I3=0

2 I1 - I7=0

3 I3 + I5=0

4 I6 + J0 - I7=0

По второму закону Кирхгофа:

I -U_C1 + I6·R1=E1

II U_C2 - I5·R2 - I6·R1=-E2

III I5·R2 – I3·R3 + U_C1=-E3

Где источники принимают вид:

Е1=6·e^j90=6·cos(0·t+90)=0 В

Е2=6 В

Е3=12·e^-90j =12·cos(0·t-90)=0 В

J0=1 А

Рассчитаем неизвестные токи и напряжения, приняв:

I1=-I3=I5=I7=I

I6=I - J0

Получим систему:

-U_C1 + (I – J0)·R1=E1 -U_C1 + I·4 - 4=0

U_C2 - I·R2 – (I - J0)·R1=-E2 U_C2 - I·4 – I·4 + 4=-6

I·R2 + I·R3 + U_C1=-E3 I·4 + I·8 + U_C1=0

Составим дополнительное уравнение, пересчитав источник тока в источник напряжения (рисунок 1.4):

E0=J0·R2=1·4=4 B

I·R1 + I·R2 + I·R3=E1 + E0 – E3=E0

Рисунок 1.4. Упрощенная схема для ММЦ при действии источников постоянных сигналов.

Решив систему уравнений получим значения:

I1=-I3=I5=I7=I=E0/(R1+R2+R3)=4/16=0,25 A,

U_C1 = I·4 – 4=1 – 4=-3 B

U_C2=I·8 – 10=2 – 10=-8 B

2. Баланс мощностей

2.1. Баланс мощностей для мгновенных значений

Проверим выполнение баланса мощностей для мгновенных значений (рисунок 2.1)

Рисунок 2.1. Схема баланса мощностей для мгновенных значений

Имеем:

-i1·u_e1(t) + i1·u_L1 + i6·u_R1 + J0·u_R1 + i4·u_C1 + i2·u_C2 + i2·u_e2(t) + i5·u_L2 + i5·u_R2 + i3·u_R3 – i3·u_e3(t)=0

2.2. Баланс мощностей для комплексных значений

Перейдём к комплексным значениям сопротивлений и комплексным источникам:

- I1·E1 + |I1|²·Z_L1 + |I6|²·R1 + J0²·R1 + |I4|²·Z_C1 + |I2|²·Z_C2 + I2·E2 + |I5|²·Z_L2 +|I5|²·R2 + |I3|²·R3 – I3·E3=0

3.Баланс мощностей для постоянных источников

При действии источников постоянных сигналов e(t)=E=const ММЦ имеет вид, приведенный на рисуноке1.3.

Проведём упрощение схемы на постоянном токе: оставим только те элементы на которых выделяется мощность, при этом учтем, что I1=-I3=I5=I7=I и E1=E3=0 (рисунок 3.1):

Рисунок 3.1. Схема баланса мощностей для постоянных сигналов.

Составим уравнение баланса мощностей и проверим его, воспользовавшись результатами, полученными в пункте 1.3.

Е1=0 В, Е2=6 В, Е3=0 В, E0=4 B, I=0,25 A

P=I²·R1 + I²·R2 + I²·R3 - I·E0=0,25²·4 + 0,25²·4 + 0,25²·8 - 0,25·4=0

Баланс мощности выполняется.

4. Вычисление значения входного сопротивления цепи относительно зажимов источника сигнала E2

4.1. Вычисление значения входного сопротивления цепи относительно зажимов источника сигнала E2 на постоянном токе

При действии источников постоянных сигналов схема для нахождения входного сопротивления относительно зажимов источника сигнала E2 имеет вид, приведённый на рисунке 4.1

Рисунок 4.1. Схема исходной цепи при постоянных значениях источников.

Из схемы 4.1 видно, что сопротивления R1, R2, R3 стоят последовательно. Из вышесказанного следует, что R_вх=R1+R2+R3=4 + 4 + 8=16 Ом.

4.2. Вычисление значения входного сопротивления цепи относительно зажимов источника сигнала E2 при w→ ∞

При действии источников сигналов w→ ∞ схема для нахождения входного сопротивления относительно зажимов источника сигнала E3 имеет вид, приведённый на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2. Схема исходной цепи при w→ ∞.

Из схемы следует, что сопротивления R1, R3 стоят последовательно. Вычислим R_вх как R_вх=R1 + R3 = 4 + 8 = 12 Ом.

5. Расчёт комплексного значения искомого тока в установившемся режиме

5.1. Метод контурных токов (МКТ)

Пересчитаем источники тока в источники напряжения: Е0=J0·R1=4 В

Выберем в контурах направления контурных токов ( рисунок 5.1, 5.2)

Рисунок 5.1. Схема цепи для решения по методу контурных токов.

Рисунок 5.2. Схема цепи для решения по методу контурных токов с нанесёнными значениями сопротивлений и источников

Составим систему уравнений:

I I11·Z11 + I22·Z12 + I33·Z13=E11

II I11·Z21 + I22·Z22 + I33·Z23=E22

III I11·Z31 + I22·Z32 + I33·Z33=E33

Где собственные сопротивления контуров:

Z11=ZC1 + ZR1 + ZL1= -4j + 4 + 2j = 4 - 2j Ом,

Z22=ZL2 + ZR2 + ZR1 + ZC2= 2j + 4 + 4 - 2j =8 Ом,

Z33=ZR3 + ZC1 + ZR2 + ZL2= 4 - 4j + 8 + 2j = 12 - 2j Ом

Взаимные сопротивления контуров:

Z13=Z31=-ZC1 =4j Ом

Z12=Z21=-R1=-4 Ом

Z23=Z32=-ZL2 - ZR2= -4 - 2j Ом

Суммарные Э.Д.С. контуров:

E11=E0+E1=4 + 6j B

E22=-E2 – E0=-6 + 12j – 4=-10 + 12j B

E33=-E3=12j B

Составим систему уравнений в матричной форме:

Разрешим её по методу Крамера. Найдём ток I1:

Значение искомого тока I1=-3,134+7,318j A