14.3.4. Критерий Cэвиджа

Суть этого критерия заключается в нахождении минимального риска. При выборе решения по этому критерию сначала матрице функции полезности (эффективности) сопоставляется матрица сожалений

элементы которой отражают убытки от ошибочного действия, т.е. выгоду, упущенную в результате принятия i-го решения в j-м состоянии. Затем по матрице D выбирается решение по пессимистическому критерию Вальда, дающее наименьшее значение максимального сожаления.

Для нашего примера отыскиваем матрицу D, вычитая (-121) из первого столбца матрицы полезности, 62 из второго и т. д.

	S1=0	S2=10	S3=20	S4=30	S5=40	S6=50
X1=20	0	0	0	-135.25	-270.5	-405.75
X2=30	-47.75	-47.75	-47.75	0	-135.25	-270.5
X3=40	-95.5	-95.5	-95.5	-47.75	0	-135.25
X4=50	-143.25	-143.25	-143.25	-95.5	-47.75	0

Наибольшее значение среди минимальных элементов строк здесь равно max[-405.75, -270.5, -135.25, -143.25]=-135.25 и, покупая 40 станков, мы уверены, что в худшем случае убытки не превысят 135.25 тыс.руб.

Таким образом, различные критерии приводят к различным выводам:

1. по критерию Лапласа приобретать 40 станков,

2. по критерию Вальда - 20 станков,

3. по критерию Гурвица - 20 при пессимистическом настроении и 50 в состоянии полного оптимизма,

4. по критерию Сэвиджа - 40 станков.

Возможность выбора критерия дает свободу лицам, принимающим экономические решения, при условии, что они располагают достаточными средствами для постановки подобной задачи. Всякий критерий должен согласовываться с намерениями решающего задачу и соответствовать его характеру, знаниям и убеждениям.

Принятие решений в проблемных ситуациях является одним из важнейших аспектов различных областей жизни и трудовой деятельности людей. Ситуации, в которых присутствует неопределенность и эффективность принимаемого одной стороной решения зависит от действий другой стороны, называются конфликтными.

В процессе принятия решений в условиях неопределенности и конфликта (разногласий) сторон используются игровые модели [1]. Математическая модель игровых ситуаций называется игрой. В игре участвует множество действующих начал, называемых коалициями действия, или игроками. Игра состоит из последовательности ходов. Ходом называется выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы бывают личные и случайные.

Результаты ходов оцениваются функцией выигрыша для каждого игрока. Если сумма выигрышей равна 0, то игра называется игрой с нулевой суммой .Стратегией называется набор правил, определяющих поведение игрока, т.е. выбор хода.

Оптимальной стратегией называют такую стратегию, при которой достигается максимальный ожидаемый средний выигрыш при многократном повторении игры. Цель теории игр – оптимизация поведения игрока.

Для игр с одной коалицией действия множество всех ситуаций можно принять за множество стратегий этой коалиции действия и далее о стратегиях не упоминать; такие игры называются нестратегическими. Важным классом таких игр являются игры с природой, применяемые для анализа экономических ситуаций, оценки эффективности принимаемых решений и выбора наиболее предпочтительных альтернатив, в которых риск связан с совокупностью неопределенных факторов окружающей среды, именуемых «природа».

Принятие решений в условиях частичной неопределенности рассматривается как случай при известном распределении вероятностей состояний «природы». В таких случаях для определения наилучших решений рекомендуется применять несколько критериев эффективности, примеры которых приведены в таблице 1.

Таблица коэффициентов оптимальности

Показатель	Формула	Название
Наибольшая осторожность	Eg=max min eij I j	Критерий гарантированного результата
Наименьшая осторожность	Eo=max max eij I j	Критерий оптимизма
Крайняя осторожность	Ep=min min eij I j	Критерий пессимизма
Минимальный риск	Erc=min max rij I j	Критерий Сэвиджа
Компромисс в решении	Eig=maxi {minjeij+(1-k)max eij} 1≤ i≤m 1≤ j≤n 0≤k≤1 или Eig=mini {k max rij+(1-k)min rij} 1≤ i≤m 1≤ j≤n 0≤k≤1	Критерий Гурвица Критерий Гурвица относительно матрицы рисков

Модель принятия решений в условиях частичной неопределенности

В случае, когда известно распределение вероятности состояний среды (частичная неопределенность), критерием принятия решения является максимизация ожидаемого дохода. Если доход коалиции действия (лица, принимающего решение, например, инвестора) от принятия i-го решения является случайной величиной Q_i с равпределением P, то ожидаемый доход (математическое ожидание) равен

Причем ищется решение, при котором достигается максимум M(Qi):

Другой критерий состоит в минимизации ожидаемого риска. Принимая i-е решение, инвестор может получить доход, отличающийся от наибольшего (для известного состояния природы) qj=maxi qij, i=1,…,m, что определяется как величина риска rij i-го решения

r_ij=q_j-q_ij=max_i q_ij -q_ij

Если риски Ri при принятии i-го решения являются случайными величинами, тогда решение выбирается из условия

Другое определение рисков состоит в оценке среднеквадратичного отклонения:

Если в качестве решения взять r=σ(Q), тогда лицо, принимающее решение (ЛПР) должен принять решение на основе оценки двух критериев: средних ожидаемых доходов M(Q_i) и рисков . Если при сравнении решений i среди пар M(Q_i и существует решение i₀ доминирующее над остальными, такое, что M(Q_i0)≥ M(Q_i), дл всех i, то оно является оптимальным. В противном случае необходимо строить множество решений, оптимальных по Парето, и выбор осуществлять среди них. Аксиома Парето фиксирует стремление получить максимально возможные значения по всем имеющимся критериям. Кроме того, она показывает, что из пары произвольных решений, то из них, которое не является в этой паре парето-оптимальным, из указанной пары никогда выбирать не следует. Так как решения, которые не выбираются из пары, разумно не выбирать и из всего множества возможных решений, то в итоге приходим к так называемому принципу Парето (принципу Эджворта-Парето), в соответствии с которым выбирать (наилучшие) решения следует только среди парето-оптимальных.

99