Лекция 8. Двойственная задача линейного программирования

Двойственная задача в линейном программировании строится по формальным правилам на базе другой задачи линейного программирования, называемой основной.

Например, если основная задача имеет вид

Ах ≤b , х≥0, f(с,х) → max, (11.1)

то двойственная к ней задача также является задачей линейного программирования:

А^Ту≥ с, у≤0, f(b, у)→ min. (11.2)

Здесь х = (x₁,х₂,... ,х_n); b = (b₁, b₂,…,b_т); с = (с₁, с₂,..., с_n); у = (y₁,y₂,... ,у_m);

f(c,x)= (11.3)

(b,y)= транспонированная матрица A.

Основная и двойственная к ней задачи образуют пару взаимно двойственных задач: двойственная задача к двойственной оказывается основной задачей.

Отношение между прямой и двойственной задачами находи выражение в виде следующих правил:

1. если прямая задача является задачей максимизации, то двойственная задача будет задачей минимизации и наоборот;

2. коэффициенты целевой функции прямой задачи с = (с₁, с₂,..., с_n) становятся свободными членами ограничений двойственной задачи;

3. свободные члены ограничения прямой задачи b = (b₁, b₂,…,b_т) становятся свободными членами целевой функции двойственной задачи;

4. матрицу ограничений двойственной задачи получают транспонированием матрицы ограничения прямой задачи;

5. знаки неравенств в ограничениях изменяются на обратные;

6. число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной задачи, а число ограничений двойственной задачи равно числу переменных прямой задачи.

Основная теорема двойственности:

Либо обе задачи двойственной пары разрешимы, и тогда (с, х*) = (b, у*), либо обе задачи не имеют решения. Здесь х*,у* - оптимальные планы пары двойственных задач.

Эта и ряд других теорем, относящихся к двойственным задачам, играют важную роль при качественном анализе задач линейного программирования.

Содержательный анализ двойственной задачи, в том числе и неизвестных у₁ у₂, ... , у_m, полностью определяется содержательным смыслом прямой задачи.

Так, например, если основная задача (11.1) является задачей производственного планирования, где А - технологическая матрица, b_i - количество i-го ресурса, x_j - объем выпуска j-го продукта, i = 1, 2, ... m, j = 1, 2, ... n, то целью решения двойственной задачи (11.2) оказывается нахождение так называемых двойственных оценок ресурсов y_i, которые также называют маргинальными (предельными) данными ресурсов.

Маргинальные цены, очевидно, связаны только с производством и потому отличаются от обычных рыночных цен на ресурсы.

Если маргинальные цены не превосходят рыночных (у_i*≤ q_i, i=1,2,..., m), то производство, для которого они были рассчитаны, не сможет получить прибыль р от своей производственной деятельности: для любого плана выпуска x.

р(х) = (с, х) - (b, q) ≤, (с, х*) - (b, q) ≤ (с, х*) - (b. у*) = 0.

И, наоборот, если у_i* > q_i, i= 1, 2,..., т, то реализация оптимального производственного плана х* принесет положительную прибыль.

р(х*) = (с, х*) - (b, q) = (А, у*) - (b, q) = (b, y*-q)> 0,

размер которой ограничивается: а) средствами, выделяемым на закупку ресурсов; b) объемом рынка ресурсов; с) технологическими условиями производства.

Из теоремы двойственности вытекает ряд положений, которые позволяют устанавливать некоторые соотношения между целевой функцией и ресурсами, необходимыми для достижения цели.

В частности, следующее важное утверждение:

Если задача линейного программирования не вырождена и С(х*) представляет собой максимум ее линейной формы при заданных ограничениях, то дс(х*)/дb_i = у_i*, i = 1,2,..., т.

Таким образом, с математической точки зрения оптимальные оценки определяют влияние свободных членов b, условий-ограничений на оптимальную величину целевой функции. Иными словами, вычисление наряду с оптимальным планом х* = (х₁*, х₂*, ... , х_n*) связанных с ним оптимальных оценок у* = {у₁*, у₂*, ... , y_т*) позволяет ввести относительную важность отдельных ресурсов (b₁*, b₂*.....b_m*) для достижения поставленной цели (максимизации ).

На основе установления такой взаимосвязи между х* и у* можно исследовать влияние небольших отклонений ресурсов на изменение оптимального значения целевой функции, получать маргинальные оценки, идея которых рассмотрена выше), получать другие рекомендации, полезные при разработке и корректировке планов в тех случаях, когда не может быть найдено строгое решение задачи оптимизации.

Идеи теории двойственности находят важное применение в разработке численных методов линейного программирования, позволяющих решать задачи с неопределенностью, не имеющие строгого оптимума, что имеет особое значения для задач системного анализа.

Пример 11.1.

Составить двойственную задачу по отношению к задаче, состоящей в максимизации функции

(11.4)

при условиях

(11.5)

(11.6)

Решение. Для данной задачи

и

Число переменных в двойственной задаче равно числу уравнений в системе (11.5), т. е. равно трем. Коэффициентами в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены системы уравнений (11.5), т.е. числа 12, 24, 18.

Целевая функция исходной задачи (11.4) – (11.6) исследуется на максимум, а система условий (11.5) содержит только уравнения. Поэтому в двойственной задаче целевая функция исследуется на минимум, а ее переменные могут принимать любые значения (в том числе и отрицательные). Так как все три переменные исходной задачи (11.4) – (11.6) принимают только лишь неотрицательные значения, то в системе условий двойственной задачи должны быть три неравенства вида “ ”. Следовательно, для задачи (11.4) – (11.6) двойственная задача такова: найти минимум функции при условиях

2. Решение задач линейного программирования с использованием программного обеспечения MATLAB

В состав MATLAB входит Optimization Toolbox, предназначенный для решения линейных и нелинейных оптимизационных задач.

Задача линейного программирования состоит в нахождении вектора x, который минимизирует целевую линейную функцию

f^Tx

при условии AX≤B ; X≥0,

где с=(с₁, c₂,…,c_n) представляет собой n-мерный вектор, соствленный из коэффициентов целевой функции, причем c^T – транспонированная вектор- строка; x=(x₁ . x_n) – n –мерный вектор переменных решений,

B=[b₁

b₂ m-мерный вектор свободных членов

b_m]

B_eq=[b_eq1

_…

b_eqr] ограничения в виде равенств;

двусторонние покомпонентные ограничения в векторной форме

lb≤x≤ub

A=

Пример: задача составления рациона питания

Имеются 3 продукта П₁, П₂ и П₃ разной цены, каждый из которых содержит определенное количество питательных ингридиентов И₁, И₂, И₃, И_4.

Известно, что в день требуется : И₁не менее 250, И₂ не менее 60, И₃ не менее 100 и И₄ не менее 220. Требуется минимизировать затраты на приобретение продуктов. Очевидно, что количество приобретаемых процессов не может быть отрицательным..

Записываем целевую функцию, матрицу A, векторы b и lb в соответствии с требованиями Toolbox, обозначив искомые количества продуктов через x_1, x₂ и x₃ соответственно. Поскольку линейные ограничения содержат «меньшк или равно», а количество ингредиентов в рационе не может быть менее заданных величин, то следует изменить знаки обеих частей системы.При вызове программы linprog вместо неиспользуемых ограничение (нет ограничений в виде равенств) задайте пустые массивы, обозначаемые в MATLAB пустыми скобками.

Программа ration

% задание матрицы и вектора правой части системы неравенств

A=[4 6 15

2 2 0

5 3 4

7 3 12]

A=-A;

b=[250 60 100 220];

b=-b;

% Определение коэффициентов целевой функции

f=[44; 35; 100];

% Задание ограничений снизу на переменные

lb=[0; 0; 0];

% решение и вывод результата в командное окно

x=linprog(f,A,b,[],[],lb)