6.2. Численные методы математического программирования

Численные методы математического программирования – раздел вычислительной математики, связанный с отысканием решения задач математического программирования в тех случаях, когда затруднено получение строго математического решения [1]. Численные методы оптимизации, численный вычислительный эксперимент считаются важным разделом системного анализа.

Численные методы представляют собой последовательность однотипных шагов, итераций.

Выделяют конечные и бесконечные численные методы [1].

Конечные методы позволяют получать решение за конечное (но обычно заранее неизвестное) число шагов. К ним относят:

• симплекс-метод (с полной симплексной таблицей, с использованием обратной матрицы, с мультипликативным представлением обратной матрицы);

• двойственный симплекс-метод;

• метод последовательного сокращения невязок (комбинация обычного и двойственного симплекс-метода);

• метод наискорейшего спуска;

• метод сопряженных градиентов для минимизации квадратичной функции;

• методы условной минимизации, основанные на теореме Куна-Такера.

Область применения конечных методов ограничена линейным программированием и квадратичным программированием .

Бесконечные методы основаны на построении последовательности все более точных приближений к решению. При этом, прекращая процесс на том или ином шаге итераций, можно получить решение с заданной точностью.

К этой группе методов относят:

• метод Брауна-Робинсона [1], основанный на связи между парой задач линейного программирования (исходной и двойственной) и матричной игрой, т.е. на применении при решении задач математического программирования методов теории игр ;

• метод штрафных функций или метод штрафов [1], базирующийся на использовании функций штрафов.

Поскольку конечные и бесконечные методы математического программирования обладают общими достоинствами и недостатками, вводят классификацию методов по видам итераций.

При этом выделяют 4 вида итераций.

1. Методы возможных направлений.

Строится последовательность х^k, к = 0,1,..., так, что каждое х^k удовлетворяет всем ограничениям задачи. Вблизи очередного приближения х^k минимизируемая функция и ограничения (существенные для х^k) аппроксимируются более простыми (как правило, лине­ными или квадратичными). Решая получающуюся вспомогательную задачу линейного или квадратичного программирования, находят возможное (т.е. не выходящее за пределы области допустимых решений) направление, являющееся одновременно и направлением убывания функции. Сдвиг по этому направлению приводит к новой точке х^k+1 .

Примерами могут служить симплексный метод в линейном программировании и метод проекции градиента и условного градиента, метод возможных направлений Зойтендейка в нелинейном программировании.

2. Методы, в которых последовательные приближения х^k не удовлетворяют ограничениям, и в процессе итераций невязка в выполнении ограничений сводится к нулю.

При этом обычно используются те же приемы и аппроксимации и решения вспомогательных задач, что и в 1-й группе.

К этой группе относят двойственный симплекс-метод в линейном программировании, метод отсечения в выпуклом программировании ), при этом точка х^k отсекается путем добавления нового линейного ограничения.

3. Итерационный процесс ведется не только по исходным, но и по двойственным переменным (множителям Лагранжа, оптимальным оценкам).

Одна итерация метода заключается в решении задачи о выборе оптимального варианта при заданных ценах на ресурсы (без учета их ограниченности) и в последующем пересчете цен в зависимости от степени нарушения ограничений на ресурсы.

К этой группе относится градиентный метод Эрроу-Гурвица-Удзавы.

4. Методы, основанные на учете ограничений с помощью штрафов.

Штрафы включаются в минимизируемую функцию. При этом получается последовательность задач на безусловный минимум, каждая из которых может решаться с помощью различных методов.

Задачи могут решаться с помощью градиентного метода, метода сопряженных градиентов, метода Ньютона и т. д.

К численным методам относят также методы решения задач специального вида: транспортные (Транспортная задача), блочные ( Блочное программирование).

В современных условиях при применении ЭВМ число методов расширяется. В частности, разрабатываются методы, основанные на использовании кусочно-линейной аппроксимации [5,6 и др.], комбинаторных алгоритмов [2], разработке непрерывных вариантов дискретных методов, строится непрерывная траектория х(t), задаваемая дифференциальными уравнениями.