Лекция 6. Содержательные постановки задач линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования

6.1. Содержательные постановки задач, приводящие к моделям линейного программирования.

Во второй половине XX в. при решении практических задач стали находить широкое применение математические методы. Они стали использоваться при перспективном и текущем планировании научно-исследовательских работ, проектировании различных объектов, управлении технологическими и производственными процессами, прогнозировании развития социальных и производственных систем, оптимизации маршрутов перевозки грузов. Особенно часто к математическим методам прибегают при решении задач оптимизации функционирования производственных систем, при распределении материальных и трудовых ресурсов и страховых запасов, при выборе местоположения предприятий, исследовании и оценке безопасности функционирования объектов повышенного риска. Постановки перечисленных задач носят оптимизационный характер, где в качестве критериев эффективности применяются различные целевые функции. Как уже было отмечено, особенностью постановок задач системного анализа является то обстоятельство, что наряду со строгим математическим аппаратом применяются эвристические методы, основанные на интуиции исследователя, его опыте в решении задач подобного типа. Рассмотрим некоторые постановки задач, являющиеся типовыми задачами системных исследований.

Задачи распределения ресурсов

Задачи распределения ресурсов возникают, когда существует определенный набор работ или операций, которые необходимо выполнить, а имеющихся в наличии ресурсов для выполнения каждой из них наилучшим образом не хватает. Способы распределения ограниченных ресурсов при выполнении различных операций в системе управления могут быть различными. Для того чтобы решить задачу распределения ресурсов, необходимо сформулировать некоторую систему предпочтений или решающее правило. Такое правило принятия решений по определению объема ресурсов, которые, целесообразно выделить для каждого процесса, обычно разрабатывается с учетом оптимизации некоторой целевой функции при ограничениях на объем имеющихся ресурсов и вре­менные характеристики.

В зависимости от условий задачи распределения ресурсов делятся на три класса.

1. Заданы и работы, и ресурсы. Требуется распределить ресурсы между работами таким образом, чтобы максимизировать некоторую меру эффективности (скажем, прибыль) или минимизировать ожидае­мые затраты (издержки производства). Например, предприятию уста­новлено производственное задание в рамках оговоренного срока. Известны мощности предприятия. При изготовлении продукции изделия проходят обработку на разных станках. Естественным является ограничение — одновременно на одном станке может обрабатываться только одна единица продукции. Мощности предприятия ограниченны и не позволяют для каждого изделия использовать наилучшую технологию. Требуется выбрать такие способы производства для каждой единицы продукции, чтобы выполнить задание с минимальными затратами.

2. Заданы только наличные ресурсы. Требуется определить, какой состав работ можно выполнить с учетом этих ресурсов, чтобы обеспечить максимум некоторой меры эффективности. Приведем пример. Имеется предприятие с определенными производственными мощностями. Требуется произвести планирование ассортимента и объема выпуска продукции, которые позволили бы максимизировать доход предприятия.

3. Заданы только работы. Необходимо определить, какие ресурсы требуются для того, чтобы минимизировать суммарные издержки. Например, составлено расписание движения автобусов пригородного и междугороднего сообщения на летний период времени. Требуется оп­ределить необходимое количество водителей, кондукторов, контролеров и прочего обслуживающего персонала, чтобы выполнить план перевозок с минимальными эксплуатационными затратами.

Математическая формулировка задачи об оптимальном использовании ресурсов

Для изготовления n видов продукции используется m видов ресурсов.

Обозначим через x_j…-число единиц j-го вида продукции (j=1,…,n), запланированной к производству;

b_i- запас i-го ресурса (i=1,…,m)

a_ij…-число единиц ресурса i, затрачиваемого на изготовление единицы продукции j-го вида (a_ij- технологические коэффициенты);

c_j- выручка от реализации единицы продукции j-го вида (или цена продукции j-го вида).

Тогда экономико-математическая модель задачи об использовании ресурсов в общей постановке примет вид:

Найти такой план X=(x_{1, …,} x_n) выпуска продукции, который удовлетворял бы системе ограничений:

и при котором целевая функция достигала бы своего максимального значения

Транспортная задача линейного программирования

Пусть имеется несколько пунктов отправления, в которых сосредоточены запасы какого-либо однородного товара в определенных количествах, несколько пунктов назначения, которые хотят получить этот товар в определенных количествах. Известно, что сумма заявок на получение груза из всех пунктов назначения равна сумме запасов товара, находящегося во всех пунктах отправления. Известна стоимость перевозки единицы товара от каждого пункта отправления до каждого пункта назначения. Требуется составить такой план перевозок, чтобы:

1. Все грузы из всех пунктов отправления были вывезены;

2. Заявки всех пунктов назначения были бы удовлетворены;

3. Суммарные затраты на перевозку были бы минимальны.

Математическая формулировка транспортной задачи

Обозначим через x_ij количество товара, который перевозится из пункта отправления A_i.. в пункт назначения B_j…(i=1,…,m; j=1,…,n); a_i- количество товара, сосредоточенного в пункте отправления A_i; b_j- количество товара, заявленного в пункте назначения B_j.

Первое содержательное ограничение: сумма товара, содержащегося во всех пунктах отправления, должна равняться сумме заявок на доставку данного товара, которые подали все пункты назначения. Математически это означает, что должно выполняться уравнение:

Второе содержательное ограничение: все товары, содержащиеся в в каждом из пунктов отправления, должны быть вывезены, возможно, в различные пункты назначения. Математически это означает, что должны выполняться следующие равенства:

а линейная функция

В этой задаче необходимо найти такой вектор X=(x_{11, …,} x_nm), который удовлетворял бы построенной системе ограничений и доставлял бы минимум целевой функции. Важная особенность данной задачи – соблюдение баланса между количеством товара, которое хотят приобрести по заявкам все пункты назначения, и количеством груза, имеющегося во всех пунктах отправления. Такие транспортные задачи наз. закрытыми (при несоблюдении баланса - открытыми).