Економічний зміст похідної. Використання поняття похідної в економіці

Означення. Еластичністю функції називається границя відношення відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при :

. (14)

Еластичність функції наближено показує, на скільки відсотків зміниться функція при зміні незалежної змінної х на 1%.

Визначимо геометричний зміст еластичності функції. За означенням (14) , де — тангенс кута нахилу дотичної в точці М (х, у) (див. рис.17). Враховуючи, що з трикутника МВN , МС = у, а з подібності трикутників МВN та АМС дістанемо , тобто еластичність функції (за абсолютною величиною) дорівнює відношенню відстаней по дотичній від даної точки графіка функції до точок її перетину з осями Ох та Оу. Якщо точки перетину дотичної до графіка функції А і В містяться по один бік від точки М, то еластичність додатна (див. рис.17), якщо по різні боки, то від’ємна (див. рис.18).

Рис. 17 Рис. 18

Властивості еластичності функції.

1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної на темп зміни функції , тобто

.

2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій:

, .

3. Еластичності взаємно обернених функцій — взаємно обернені величини:

. (15)

Приклади

Приклад 1. Знайти .

• Чисельник та знаменник дробу окремо прямують до нуля при (невизначеність вигляду ).

Використовуючи правило Лопіталя, дістаємо

.

Приклад 2. Знайти .

• Маємо:

Приклад 3. Знайти .

• Подамо добуток функцій у вигляді дробу, а потім, діставши невизначеність вигляду , застосуємо правило Лопіталя:

.

Приклад 4. Знайти .

• Зведемо дроби до спільного знаменника. Маємо невизначеність вигляду . До неї застосуємо правило Лопіталя:

.

Приклад 5. Знайти .

• Позначимо задану функцію через у: .

Прологарифмуємо її .

Обчислимо границю знайденого виразу за допомогою правила Лопіталя (маємо невизначеність вигляду ):

Приклад 6. Знайти .

• Логарифмуючи та застосовуючи правило Лопіталя, маємо:

Таким чином, .

Приклад 7. Знайти інтервали зростання та спадання функції

.

• Знайдемо похідну . Похідна додатна на проміжку . Таким чином, функція зростає на всій області означення.

Приклад 8. Дослідити на екстремум функцію .

• Функція визначена при . Знайдемо першу похідну ; при ; звідси (критичні точки); не існує при , тобто на межах області визначення функції.

Знайдемо другу похідну: .

Обчислимо значення другої похідної в стаціонарних точках:

.

Отже, у точці функція має максимум

;

у точці — має мінімум:

.

У критичних точках екстремуму немає, бо за означенням точками екстремуму можуть бути лише внутрішні точки області визначення функції.

Приклад 9. Знайти найбільше та найменше значення функції на сегменті .

• Знайдемо першу похідну та стаціонарні точки: , тобто . Визначимо значення функції в ста- ціонарних точках та на кінцях сегмента: , , , .

З одержаних чотирьох значень вибираємо найбільше та найменше: .

Приклад 10. Знайти асимптоти кривої .

• Функція визначена на інтервалах та . Зглядаючись на те, що , пряма є вертикальною асимптотою кривої.

Визначимо тепер існування похилих асимптот:

1) ,

2)

,

Таким чином, існують права та ліва похилі асимптоти кривої.