Похідні вищих порядків

Похідна від функції називається похід- ною першого порядку і являє собою деяку нову функцію. Загалом мож­ливо, що ця функція сама має похідну. Тоді по- хідна від похідної першого порядку називається похід- ною другого порядку від функції і позначається .

Похідна від похідної другого порядку називається похід­ною третього порядку і позначається , .

Похідна від похідної (n – 1)-го порядку називається похідною n-го порядку і позначається .

Таким чином,

Приклад. Знайти похідну третього порядку для функції .

 .

Приклади

Приклад 1. Користуючись означенням похідної, знайти похід­ну функції .

 Надамо х приросту , тоді у набуде приросту :

За означенням похідної маємо:

.

Приклад 2. Який кут утворює з віссю Ох дотична до кривої , проведена в точці з абсцисою ?

 Знаходимо похідну ; при , , таким чином , звідки .

Застосовуючи формули та правила диференціювання, знайти похідні таких функцій:

Приклад 3. .



Приклад 4. .



.

Приклад 5. .



Приклад 6. .

 Логарифмуючи обидві частини рівняння, дістаємо .

Звідки: ,

,

.

Приклад 7. .

 Логарифмуючи обидві частини рівняння, маємо:

,

.

Приклад 8. Знайти похідну з рівняння .

 Продиференціювавши за обидві частини рівняння, дістанемо .

Звідки .

Приклад 9. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої у точці М₀ (1, – 1).

 З рівняння кривої знайдемо похідну:

, тобто .

Таким чином, .

Рівняння дотичної буде

, або .

Рівняння нормалі

, або .

Приклад 10. Задано функцію . Знайти

 Маємо: ,

,

.

Приклад 11. . Знайти .

 Маємо:

.

Приклад 12. Знайти , якщо

 Знайдемо  

Приклад 13. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до циклоїди

в довільній точці

 Кутовий коефіцієнт дотичної в кожній точці дорівнює значенню похідної у цій точці:

.

Кутовий коефіцієнт дотичної до циклоїди в кожній точці дорівнює , де — значення параметра, який відповідає цій точці.

Оскільки кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до осі Ох, то

.

Розділ2 диференціал функції однієї змінної. Означення диференціалу функції

Означення. Добуток називається диференціалом функції ; його позначають символом dy, тобто

(5)

Знайдемо диференціал функції ; для цього випадку , отже, . Таким чином, диференціал незалежної змінної збігається з її приростом . З огляду на це формулу для диференціала (5) можна записати так:

(6)

Приклад. Знайти диференціал dy функції : 1) при довільних значеннях х та ; 2) при , .

 1) ;

2) якщо , , то .

Диференціал застосовують в наближених обчисленнях. Для цього використовують формулу: , звідки

. (7)

Остання наближена рівність тим точніша, чим менше .

Приклад. Обчислити наближено .

Перетворимо вираз, що стоїть під знаком радикала:

, звідки . (8)

При обчисленні розглянемо функцію , тоді .

Формула (7) у нашому випадку запишеться так:

, де .

Інакше

. (9)

Підставивши (9) у рівність (8), дістанемо

.

ТАБЛИЦЯ основних диференціалів та правила знаходження диференціалів

1. ;

2. ;

;

;

3. ;

;

4. ;

;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

14. .

Правила знаходження диференціала мають вигляд:

1. ,

2. ,

3. 

4. .