МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КОРАБЛЕБУДУВАННЯ

ІМЕНІ АДМІРАЛА МАКАРОВА

О.С. Манойленко, Є.В. Сокуренко, І.А. Зоріна, В.П. Борко

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ До САМОСТІЙНОЇ та індивідуальної роботи студентів,

підсумково-модульного контролю

з вищої математики за темою "Диференціальне числення функції однієї змінної"

Миколаїв 2011

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Національний університет кораблебудування

імені адмірала Макарова

О.С. Манойленко, Є.В. Сокуренко, І.А. Зоріна, В.П. Борко

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ До САМОСТІЙНОЇ та індивідуальної роботи студентів,

підсумково-модульного контролю

з вищої математики за темою "Диференціальне числення функції однієї змінної"

Рекомендовано Методичною радою

Херсонської філії НУК

як методичні вказівки

Миколаїв 2011

УДК 517:681.3

О.С. Манойленко, Є.В. Сокуренко, І.А. Зоріна, В.П. Борко

Методичні вказівки до самостійної та індивідуальної роботи студентів, підсумково-модульного контролю з вищої математики за темою "Диференціальне числення ". - Миколаїв: НУК, 2011. – 75 с.

Кафедра фізико-математичних дисциплін

Методичні вказівки відповідають програмі курсу вищої математики та призначені для надання допомоги студентам технічних та економічних спеціальнос­тей денної та заочної форми навчання при виконанні контрольних робіт, розрахунково-графічних завдань, підготовки до підсумково-модульного контролю. Містять теоретичні відомості з приклада­ми, задачі з докладними розв'язками, варіанти контрольних та розра­хунково-графічних завдань.

Список літератури – 7 назв.

Рецензенти: проф., канд. фіз.-мат. н., Крючковський В.В.;

доц., канд. фіз.-мат. н., Літвінова М.Б.

Вступ

Мета даних методичних вказівок полягає в тому, щоб допомогти студентам при вивченні основних положень теми "Диференціальне числення функції однієї змінної", при самостійному виконанні розрахунково-графічних завдань, підготовки до підсумково-модульного контролю.

Це досягнуто завдяки тому, що приводяться основні теоретичні формули з поясненням їх змісту та розв’язки конкретних типових задач, які є в тексті семестрових завдань.

Розділ 1 Диференціальне числення функції однієї змінної означення похідної функції

Нехай функція визначена та неперервна на деякому проміжку . Візьмемо значення і надамо аргументу приросту . Тоді функція набуде приросту . Розглянемо відношення приросту функції до приросту аргументу і перейдемо до границі при :

. (1)

Якщо границя (1) існує і скінчена, вона називається похідною функції за змінною і позначається

.

Означення. Похідною функції за аргументом називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

Користуючись означенням похідної, знайти похідну функції.

Приклад. Функція . Знайти похідну в точках і .

 Надамо аргументу приросту , тоді функція набуде приросту Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу , відшукаємо границю . Таким чином, - є числом. Але ж можна було обчислити похідну в довільній точці . Надамо аргументу приросту , тоді функція набуде приросту Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу , відшукаємо границю . Таким чином, , і є новою функцією того ж аргументу. Похідна в точці , а похідна при буде - число, що є значенням функції в точці .

Геометричний зміст похідної

Означення. Дотичною до кривої L точці М називається граничне положення МN січної ММ₁ при прямуванні точки М₁ по кривій L до точки М (рис.1).

Нехай крива, яка задана рівнянням , має дотичну в точці . Позначимо (рис.2) кутовий коефіцієнт дотичної МN: .

Рис. 1 Рис. 2

Надамо в точці приросту , тоді ордината у набуде приросту .

З випливає, що . Коли , то і січна прямує до положення дотичної МN.

Таким чином,

.

Оскільки , то тобто похідна чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х. У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Рівняння дотичної і нормалі до плоскої кривої

Нехай функція означена і неперервна на деякому проміжку [a; b]. Визначимо рівняння дотичної й нормалі до графіка функції у точці з абсцисою .

Означення. Нормаллю до графіка функції в точці М₀ називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці (рис.3).

Оскільки дотична й нормаль проходять через точку з абсцисою , то рівняння кожної з них будемо шукати у вигляді рівняння прямої, що проходить через задану точку з відомим кутовим коефіцієнтом (рис.3):

, (2)

де k - кутовий коефіцієнт дотичної (нормалі). Враховуючи геометричний зміст похідної, маємо для дотичної .

Оскільки , то з виразу (2) ді- станемо рівняння дотичної у вигляді

. (3)

Використовуючи умову перпендикулярності дотичної та нормалі, знаходимо кутовий коефіцієнт нормалі і записуємо її рівняння у вигляді

. (4)

Рис. 3

Приклад. Знайти рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у точці з абсцисою .

 Знайдемо похідну від заданої функції , звідси .

Рівняння дотичної (3) і нормалі (4) запишуться так: або у загальному вигляді: , .