Решение поставленной задачи

1. Метод начальных параметров при расчёте балок на изгиб

Исходное уравнение дифференциального уравнения 4^-го порядка:

(1.1)

где EI – жесткость балки, v – прогиб, q – нагрузка.

Это уравнение устанавливает зависимость между погибом балки v и внешней нагрузкой q, благодаря чему оказывается возможным найти изогнутую ось балки непосредственно по виду внешней нагрузки, не прибегая к предварительному ее статистическому расчету и не составляя выражения изгибающего момента по участкам. Тогда решение уравнения примет вид:

, (1.2)

где С_1, С_2, С_3, С₄ – произвольные постоянные интегрирования;

3! = 6 и 2! = 2. Тогда уравнение (1.2) выглядит:

. (1.3)

При этом из исходного уравнения имеет вид:

. (1.4)

С₄ - прогиб в начале координат (x = 0), уменьшенный в EI раз.

С₃ – угол наклона оси балки, уменьшенный в EI раз.

С₂ – изгибающий момент в начале координат.

С₁ – перерезывающая сила.

Введем обозначения:

Пришли к уравнению для определения прогиба в любой точке оси прогиба:

(1.5)

Чтобы найти прогиб балки, необходимо найти все четыре неизвестные постоянные. Угол поворота оси балки можно найти с помощью первой производной выражения (1.5) по x.

Изгибающий момент и перерезывающая сила выражается соотношением сопромата:

2. Применение метода начальных параметров к поставленной задаче

Рис.2 Балка

Для поставленной задачи нагрузка балки выглядит:

(2.1)

Выражение (1.5) для определения прогиба:

(2.2)

Для получения формул для угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы необходимо соответственно найти первую, вторую и третью производные по х из выражения (2.2):

(2.3) (2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Примем за начало координат левый конец балки.

Для определения величин начальных параметров служат граничные условия – условия закрепления концов балки. В решаемой задаче балка жестко закреплена на одном конце и свободно опёрта на другом. Следовательно, прогиб и угол поворота в начале балки равняются нулю, изгибающий момент и прогиб равны нулю на конце балки т.е.:

(2.8)

Приравняем нулю выражение (2.2) и (2.3) при :

(2.9)

Изгибающий момент и прогиб в конце балки равны нулю:

(2.10)

Приравниваем нулю выражение (2.2) и (2.6) при :

(2.11)

Из равенства (2.9) следует, что . Таким образом, для определения оставшихся двух начальных параметров имеем систему линейных алгебраических уравнений:

(2.12)

(2.13)

Найдены формулы для вычисления всех характеристик изогнутой балки: прогиба, угла поворота, изгибающего момента, перерезывающей силы:

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)