Типовые задачи по математической статистике

1. Оценка характеристик случайных величин

1.Результаты измерения напряжение в электрической сети. В вольтах приведены в таблице.

227	229	215	232	223	220	222	218	219	222
221	227	226	226	209	211	215	218	220	216
220	220	221	225	224	212	217	219	220	223

По этим данным построить гистограмму и статистическую функцию распределения и оценить математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

2. В таблице частот приведена статистическая совокупность, характеризующая затраты в копейках на рубль продукции по 100 предприятиям.

Затраты на 1р продукции	61.55-66.55	66.55-71.55	71.55-76.55	76.55-81.55	81.55-86.55	86.55-91.55	91.55-96.55
Число предприятий	7	7	11	27	23	16	9

По этим данным построить гистограмму и статистическую функцию распределения и оценить математическое ожидание и дисперсию.

3. В диспетчерской по обслуживанию лифтов фиксировались аварийные вызовы за смену. Наблюдения велись в течении 100 дней, результаты которых приведены в таблице.

Число вызовов за смену	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Частота	2	23	24	19	13	13	4	1	1

Известно, что число вызовов лифтов в смену распределено по закону Пуассона. Методом наибольшего правдоподобия и методам моментов оценить параметр этого распределения.

4. Случайная величина Х подчинена гамма-распределению, плотность которого определяется параметрами α и β и имеет вид

В таблице частот приведены результаты над этой случайной величиной

xi	37,5	62,5	87,5	112,5	137,5	162,5	187,5	250	350
ni	1	3	6	7	7	5	4	8	4

Известно, что математическое ожидание данной случайной величины равно (α+β)β, а дисперсия равна (α+β)β² .

По этим данным методом моментов оценить параметры α и β.

5. Случайная величина Х распределена по по показательному закону.

В таблице частот приведены результаты над этой случайной величиной

	5	15	15	25	35	55	65
ni	25	19	15	11	5	3	2

Методом наибольшего правдоподобия оценить параметр показательного распределения.

6. Было проведено 20 наблюдений над случайной величиной, имеющей нормальное распределение. Среднее значение результатов наблюдений , а несмещенная оценка дисперсии С вероятностью γ = 0.99 определить доверительный интервал математического ожидания случайной величины.

7. В некотором регионе в порядке случайной выборки определяли удой 100 коров. В среднем он оказался равен 2800кг, а среднее значение СКО составило 250кг. С какой вероятностью можно утверждать, что средний удой по региону будет отличаться от полученного результата не более чем на 10кг.

8. Известно, что СКО времени горения лампочек составляет 150 часов. Определить необходимый объем выборки, чтобы математическое ожидание время горения лампочки не отличалось от среднего арифметического времени горения лампочки в выборке по абсолютной величине более чем на 25 часов.

9. Проведено 20 наблюдений над случайной величиной. Получена оценка ее дисперсии s² = 766 с надежностью 0.98 определить доверительный интервал СКО (σ).

10. Было произведено взвешивание 170 бычков. Оценочное СКО s = 49.

С вероятность р = .98 определить доверительный интервал СКО веса бычков.

11. Точность обработки детали измеряется оптическим прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайная ошибка распределена нормально со СКО 20мкм. Сколько необходимо выполнить измерений, чтобы определить точность обработки детали с ошибкой не более 15мкм при доверительной вероятности 0.9.

12. Было проверено 250 ящиков облицовочной плитки. Среди них оказалось 80% ящиков с плиткой первого сорта. Найти границы, в которых с вероятностью 0.966 заключена доля ящиков с плиткой первого сорта.

13. Среди 1000 отобранных зерен 840 оказались доброкачественными. Найти доверительную вероятность того, что процент таких зерен в генеральной совокупности отличается от процента их в выборке не более чем на 2%.

14. Проведено 120 независимых испытаний, в каждом из которых событие А появилось 26 раз. С надежностью 0.99 определить доверительный интервал вероятности появления события А.

15. Выборочно проверялось качество кирпича. Из 1600 проб в 32 случаях кирпич оказался бракованным. Требуется определить, в каких пределах заключается доля брака для всей продукции, если результат надо гарантировать с вероятностью 0.954.

16. Проверено 4000 изделий. Среди них оказалось 300 изделий высшего сорта. Найти вероятность (доверительную вероятность) того, что доля таких изделий во всей партии отличается по абсолютной величине от доли их в выборке не более чем на 0.05.

17. Проведено 120 независимых испытаний, в каждом из которых событие А появилось 6 раз. С надежностью 0.95 определить доверительный интервал вероятности появления события А.