4. Математична модель №2 задачі конформних відображень в оберненій постановці

Оскільки функції зв’язані умовами та кожна з них є гармонічною в даній області, то природно замість умов Коші-Рімана розв’язати систему:

(1.13)

Граничні умови ті самі.

Зауваження: З курсу ТФКЗ відомо, що будь-який многокутник можна конформно відобразити на верхню півплощину так, щоб вершини многокутника перейшли в деякі точки, в верхня півплощина – в параметричний прямокутник за допомогою інтеграла Криштоффеля-Шварца. Проблема – визначення констант. Це буде точне відображення, яке дається аналітичною функцією, однак таке відображення можна побудувати лише для многокутника. У випадку криволінійної області – не представляється можливості знайти такого точного відображення.

Зауваження: Враховуючи зв’язок між похідними, і рівністю (1.1), отримаємо:

(1.14)

На основі (1.1), (1.14) умови ортогональності можна записати у вигляді:

Заміна умови Коші-Рімана (1.9) рівнянням Лапласа (1.13) не зовсім еквівалентне тому що в умові Коші-Рімана - спряжені гармонічні функції:

1. (задовольняють умовам Лапласа)

2. задовольняють умовам Коші-Рімана

а в рівняннях Лапласа – лише гармонічні. Але клас гармонічних функцій ширший від класу гармонічних спряжених. Тому така заміна не зовсім еквівалентна і при побудові чисельного відображення необхідно забезпечити еквівалентність такої заміни, що реалізується процедурою уточнення модуля даної області (правильним вибором чисел n, m), таким, щоб існувало конформне відображення.

5. Обчислювальний алгоритм побудови чисельного конформного відображення параметричного прямокутника на криволінійний чотирикутник (алгоритм для задачі 2)

Покриємо область параметричного прямокутника різницевою сіткою

де

m,n- число поділів параметричного прямокутника. Одне з них можна зафіксувати. Задача побудови чисельного конформного відображення зводиться до:

1. розрахунку модуля області:

2. розрахунку координат плаваючих вузлів:

невідомих

3. розрахунку координат внутрішніх вузлів:

невідомих

Отже, маємо 1+ + невідомих.

1. При певному аналізі модуля області виберемо його початкові наближення. Іншими словами, задамо початкові значення n і m.

2. Задамо початкові значення координат плаваючих вузлів по межах області (зафіксуємо їх)

3. Координати внутрішніх вузлів визначаємо з розв’язку системи:

(2.1)

- різницевий оператор, визначений на деякому шаблоні (наприклад, «хрест», «ящик»), що апроксимує рівняння Лапласа.

U – х або у.

S - № ітерації.

Якщо (5-точковий шаблон), то (2.1) запишеться:

(2.2)

При заданих n, m на основі (2.1) ми отримали дві крайові задачі Діріхле для рівняння Лапласа:

(2.3)

Аналогічно для :

(2.4)

Розв’язуючи різницеву схему (2.3) і (2.4) можна використати будь-який з методів. Розв’язок представляється у вигляді

(2.5)

- вектори k-го і (k+1)-го наближення.

- релаксаційний параметр

(2.6)

(2.7)

- cпектральний радіус

(2.8)

(2.9)

Зауваження: вищенаведені формули спрощуються, якщо покласти .

Таким чином, в результаті чисельних розв’язків цих різницевих схем знайдемо , .

Виникає запитання: чи буде побудована різницева сітка з першого разу наближатись до конформної? Тобто, якщо з деякою заданою точністю отримана різницева сітка є конформною, то алгоритм побудування різницевої сітки на цьому етапі завершується. Числа n, m є шуканими,

M=n/m.

Якщо ж умови конформності не виконані, то при фіксованому n нарощуємо m і повторюємо попередні дії доти, доки сітка не стане конформною (близькою до конформної).

Розглянемо приклад

Нехай необхідно відобразити четверть кільця на параметричний прямокутник.

Четверть кільця являє собою приклад найпростішого криволінійного чотирикутника.

Відомо, що функція

(2.10)

здійснює конформне відображення параметричного прямокутника на четверть кільця. Відділимо в (2.10) дійсну і уявну частини:

(2.11)

(2.10) здійснює обернене відображення

Візьмемо r1 = 1; r2 = 5;

Виберемо ,

(2.14)

(2.14) являє собою формулу для конформного відображення і розрахунку вузлів різницевої сітки. Формули встановлюють взаємно однозначну відповідність між вузлами сітки в параметричному прямокутнику і вузлами сітки в чверті кільця.

2. Розрахунок вузлів різницевої сітки в чверті кільця, використовуючи розглянутий вище алгоритм

Згідно алгоритму поступаємо наступним чином:

1) Знаходимо початкові значення координат плаваючих вузлів:

2) Задаємо початкові значення внутрішніх вузлів:

3) Уточнюємо координати внутрішніх вузлів згідно методу послідовної верхньої релаксації

(2.15)

- релаксаційний параметр (див. (2.6))

4) Уточнюємо координати плаваючих вузлів:

Формули для уточнення координат плаваючих вузлів отримані. Умови Коші-Рімана виконуються:

Використані формули для уточнення плаваючих вузлів:

5) Знаходимо середньоквадратичне відхилення для плаваючих вузлів. Якщо це відхилення менше від деякої заданої точності , то це означає, що плаваючі вузли знайдені, отримана сітка є близькою до конформної. Інакше знову уточнюємо координати плаваючих вузлів і перераховуємо координати внутрішніх вузлів доти, доки середньоквадратичне відхилення не стане менше .

6. Після чого порівнюємо значення координат вн.вузлів і плаваючих вузлів РС обчислені за формулами (2.15) і значення цих вузлів обчислені за п.3.

Чисельні експерименти показали їх хороше спів падання, що свідчить про достовірність розробленого алгоритму побудови конформних РС в кривол.4-кутних областях.

ТЕМА №3 Алгоритм побудови КРС в кривол. 4-кутних областях

Вище наведений алгоритм побудови РС кривол. 4-кутної області простий для розуміння і не складний в програмній реалізації. Однак потрібно забезпечити існування такого ЧКВ, останнє реалізується вибором кривол. 4-кутника, що забезпечується вибором чисел n, m (1-го з них!!!), а потім процедурою уточнення модуля (уточнення числа m).

При цьому можуть бути рораховані вн.вузли біля меж обл..виходити за ці межі(законторні точки). Це спостерігається для досить кринолін. обл.

«-» те, що досить громістка процедура уточнення модуля привол. 4-кутника, а також початкового його вигляду, що позначається на самій РС.

Алгоритм, що вільний від цих недоліків. Постановка задачі – та сама. В зв’язку з цим вибираємо регулярне відображення:

З J>0 , де J – якобіан

Рис_(3.1)

В зв’язку з цим розгул. Задачу мінімізації варіаційного функціоналу Рімана.

(3.1)

Це відомо з ТКВ, і будемо його оптимізувати. Можна показати, що (3.1) можна записати :

(3.2)

З ТКВ відомо, що існує не вироджене однолисне КВ :

Так що виконується С-R.

З деяким відношенням сторін при цьому

(3.3)

(3.4)

(3.4)-рівняння Ейлера,що виражають ум.мініміз. функціоналу

(3.5)

На межі області:

(3.6)

Крім того дані гр.. умови доповнюються ще ум.ортогональності ліній сітки її межам(«рівняння зв’язку »)

(3.7)

Зауважимо,що (3.1)-(3.7) відносяться до постановки прямої задачі, тобто до відображення крив. 4-кутника на 1-ий квадрат.

Постановка оберненої задачі: в силу регулярності відображення (j не = 0), тоді існує обернене відображення

(3.8)

При цьому х і у відомі і задовольняють еліптичній системі рівнянь:

(3.9)

(3.10)

- якобіан відображення

Система 2-ох еліптичних рівнянь (3.9-3.10) є не лінійною, бо α, β, γ залежать від похідних шуканих функцій

В формула модуля:

(3.11)

Або

(3.12)

З врахуванням умов ортогональності (3.9):

(3.13) або (3.14)

Крім того потрібно врахувати ще умови ортогональності ліній сітки її межам:

(3.15)

Для оберненого відображення, яке виконується в околі всіх чотирьох меж Г , і= , а також рівнянь меж (3.16) криволінійного чотирикутника в фізичній області.

2. РІЗНИЦЕВА СХЕМА ЗАДАЧІ

Аналогічно попередньому, покриваємо параметричний прямокутник сіткою по та .

В криволінійному чотирикутнику у цій сітці відповідає криволінійна ортогональна сітка: h1=h2=h

i,j=

Лінеаризуємо дану систему рівнянь:

- обчислюються на попередній ітерації

(3.17)

В розгорнутому вигляді:

(3.18)

РС (3.18) отримана в результаті дискретизації еліптичної с-ми (3.16) на п’ятиточковому шаблоні хрест. Скориставшись дискретизацією (3.16) на дев’ятиточковому шаблоні «ящик» отримаємо:

Це є РС підвищеної точності

ЧИСЕЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК РС

В загальному маємо РСх:

-різницевий оператор, що апроксимує (3.17) по 5 чи 9 точковому шаблоні

Чисельний розв’язок знаходиться методом послідовної верхньої релаксації

Де – релаксаційний параметр

- спектральний радіус

(3.23)

Для схеми підвищеної точності:

(3.26)

Таким чином після багатократного перерахунку координати вн. вузлів і координат плаваючих вузлів ми отримаємо конформну різницеву сітку в криволінійному чотирикутнику. В даному випадку число n і крок сітки є фіксованими. Перевага даного алгоритму полягає в тім, що тут не потрібно робити окрему процедуру по уточненню модуля М області.

Приклади деяких РС:

• РС в трапеції

• РС в паралелограмі

• РС в крилі

• РС під гідротехнічну спорудою

• РС в крузі

• Гідродинамічна сітка фільтраційного потоку рідини

• Непроникний шар глини

Чисельні конформні відображення двозв’язних кільцевих областей

Кільцеві області найчастіше зустрічаються у прикладних задачах. Наприклад:

• гідро газодинаміка

• обтікання деякого тіла гідродинамічним потоком

• розчинення

• кристалізація

• моделювання плазми

Канонічною двозв’язною областю є кільце з концентричними колами.

Кільцевою двозв’язною областю називається всяка скінченна область , обмежена двома замкнутими контурами.

Проведемо нескінченно тонкий розріз .

Розріз із заданим профілем будемо називати фіксованим розрізом.

Профіль розрізу задається рівнянням .

Розріз області , рівняння профілю якого визначається в ході побудови чисельного конформного відображення, називається «вільним» розрізом.

При цьому можна розрізняти

• вільний розріз з фіксованими кінцями

• вільний розріз з одним фіксованим кінцем.

Вузол межі області або фіксованого розрізу називається плаваючим по цій межі, якщо одна з його координат визначається з рівняння профілю, а друга – з додаткових умов зв’язку (Коші-Рімана, ортогональності).

Зауваження: якщо провели в двозв’язній кільцевій області нескінченно тонкий розріз, то ми перетворили двозв’язну кільцеву область в криволінійний чотирикутник.

На основі вищесказаного виникають різні постановки задач чисельного конформного відображення двозв’язної кільцевої області.

Зокрема, можна виділити дві постановки:

1. відображення розрізаної двозв’язної кільцевої області з фіксованим розрізом

2. відображення розрізаної двозв’язної кільцевої області з вільним розрізом

При цьому контури можуть задаватись:

1. аналітично:

(явно)

(неявно)

(параметрично)

2. точково

3. сплайнами

4. апроксимувати кривими