4.Краевые задачи для дифференциальных уравнений
Рассмотрим линейную краевую задачу
,
,
,
(2.10)
где
,
функции
и
– непрерывны
коэффициенты
и
–
постоянные числа.
Как и в предыдущей задаче введем новую функцию
и выпишем выражения производных и самой функции y(x)
,
(2.11)
,
где
.
Если
в (2.11) положить
,
то получим
и соотношения (2.11) перепишутся
.
(2.12)
При
из (2.11) имеем
.
(2.13)
Подставляем
выражения для производных
(2.13)
в краевые условия (2.10)
или,
группируя члены с одноимёнными
производными, получим систему n
линейных неоднородных алгебраических
уравнений с неизвестными
.
.
(2.14)
Обозначим
определитель этой системы через
=det
.
Пусть ≠ 0, тогда , обозначив через ij миноры определителя с их знаками в алгебраических дополнениях, получим
(2.15)
.
Найдем
выражение дифференциального оператора
через новую функцию
(2.16)
где
.
Подставляя выражение (2.16) в уравнение краевой задачи(2.10), придем к разрешающему интегральному уравнению смешанного типа Вольтерра-Фредгольма
где F(x) = f(x) – Ф (x).
Полученное разрешающее уравнение эквивалентно первоначально поставленной краевой задаче (2.10).
Аналогичных задач в различных областях знаний возникает множество, мы ограничимся приведёнными.
§3 Интегральные уравнения Вольтера как частный случай уравнений Фредгольма
Интегральные уравнения Вольтерра как первого так и второго рода
при некоторых ограничениях можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма.
Чтобы показать это построим новое ядро
!!!
и запишем интегральное уравнение Фредгольма с этим ядром
.
П
t
t=x
0
Ядро H(x,t) равно нулю вне заштрихованной части квадрата, по которой берётся Фредгольмовский интеграл и оба интеграла вычисляются по заштрихованной области, следовательно, они равны т.е.
Однако интегральные урравнения Вольтерра обладают свойствами характерными только для них. Для них применимы некоторые методы решения и исследования, которые не применимы или имеют существенные ограничения для уравнений Фредгольма.
Пример 1. Для интегрального уравнения Вольтерра второго рода
записать эквивалентное интегральное уравнение Фредгольма.
Решение. Строим ядро
и записываем уравнение Фредгольма с этим ядром
которое и будет эквивалентным данному.
§4. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом дифференцирования
Некоторые интегральные уравнения Вольтерра, как первого, так и второго рода решаются методом дифференцирования.
Рассмотрим уравнение Вольтерра второго рода
Продифференцируем данное уравнение
применив
правило дифференцирования интеграла
по параметру x
(
-
переменная вне интеграла).
В случае вырожденных ядер можно применить правило дифференцирования произведения, предварительно вынося множитель зависящий только от из под интеграла.
Исключая неизвестный интеграл из двух уравнений, данного и полученного после дифференцирования, получим дифференциальное уравнение первого порядка. Если после первого дифференцирования исключить интеграл от неизвестной функции не удаётся можно попытаться осуществить исключение после n-кратного дифференцирования.
Особенно
метод эффективен, если после n-кратного
дифференцирования удаётся производную
выразить через ядро
.
Это легко удаётся осуществить, например,
для следующих функций 
и
др.
Пример 2. Найти решение уравнения Вольтерра второго рода
Решение. Дифференцируем данное уравнение
и решаем полученное дифференциальное уравнение
при
начальном условии 
находим значение постоянной 
Ответ:
Проверка. Найденную функцию подставляем в исходное уравнение
и вычислив интегралы, получим тождество
Следовательно, эта функция удовлетворяет заданному равнению и является его решением.
Пример 3. Найти решение уравнения Вольтерра первого рода.
.
Решение. Дифференцируем данное уравнение
и заменив неизвестный интеграл его значением из данного уравнения
найдём решение дифференциального уравнения.
Ответ:
.
Проверка. Подставим полученную функцию в исходное уравнение
откуда
получаем тождество 