Разнообразие двоичных алгебр

В связи с тем, что любую сколь угодно сложную Булеву функцию можно представить в канонических формах, то есть записать ее с помощью операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции эта система Булевых операций обладает свойством функциональной полноты, т.е. образует так называемый базис. Естественно предположить, что система Булевых операций является не единственной, с помощью которой можно образовать некоторый базис.

В принципе любую из базовых функций можно отождествить соответствующей операцией и на основе совокупности этих операций построить двоичные алгебры, отличные от Булевой. К наиболее распространенным двоичным алгебрам относятся: алгебра Жигалкина (Å, &); алгебра Вебба (Пирса) (¯); алгебра Шеффера ( | ). В каждой из этих алгебр действуют собственные законы. Естественно существуют взаимно однозначные переходы от операций одного базиса к операциям другого.

Числовое представление Булевых функций

Для любой Булевой функции можно предложить две числовые формы, основанные на перечислении десятичных эквивалентов наборов аргументов на которых функция принимает значение единицы (нуля).

f³(x)=(0,2,6,7) - от этой числовой формы легко перейти к КДНФ путем замены каждого из наборов в перечислении конституенты единицы.

y=`x<sub>1</sub>`x₂`x<sub>3</sub>Ú`x₁x₂x₃Úx₁x₂`x<sub>3</sub>Úx<sub>1</sub>x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>=`x₁`x<sub>3</sub>(`x₂Úx₂)Úx₁x₂(`x<sub>3</sub>Úx<sub>3</sub>)= `x₁`x₃Úx₁x₂ (ДНФ)

f³(x)=&(1,3,4,5)

y=(x₁Úx₂Ú`x<sub>3</sub>) (x<sub>1</sub>Ú`x₂Ú`x<sub>3</sub>) (`x₁Úx₂Úx₃) (`x<sub>1</sub>Úx<sub>2</sub>Ú`x₃) (*)

Преобразование произвольной аналитической формы Булевой функции в нормальную

В Булевой алгебре в виде теоремы доказывается следующее утверждение: существует единый конструктивный подход, позволяющий преобразовать аналитическое выражение Булевой алгебры в произвольной форме к нормальной форме.

Пример:

y=f⁴(x)=(x₁x₂Úx₂`x<sub>3</sub>)(x<sub>1</sub>|`x₄)=(x₁x₂Úx₂`x<sub>3</sub>)( `x₁x₄)=(x₁x₂Úx₂`x<sub>3</sub>)(x<sub>1</sub>Ú`x₄)=

=x₁x₂Úx₁x₂`x<sub>4</sub>Úx<sub>1</sub>`x₂x₃Ú`x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>`x₄₌x₁x₂Úx₁`x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>Ú`x₂x₃`x<sub>4</sub>=x<sub>1</sub>(x<sub>2</sub>Ú`x₂x₃)Ú `x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>`x₄=

=x₁(x₂Úx₃) Ú`x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>`x₄=x₁x₂Úx₁x₃Ú`x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>`x₄ (КДНФ)

Замечания:

1) В общем случае любая Булева функция может иметь несколько КДНФ, отличающихся либо количеством термов, либо количеством букв в этих термах.

2) При построении комбинационной схемы, реализующей данную функцию по ее нормальной форме предпочтительней та, которая обладает наименьшим числом термов и наименьшим количеством букв в этих термах.

3) По сравнению со схемой, построенной по ДНФ, схема, построенная по скобочной форме (*), является более предпочтительной т.к. при одном и том же числе логических элементов (И, ИЛИ) содержат меньшее число входов (9 вместо 10).

Задача преобразования нормальной формы Булевой функции в скобочной форме называют задачей фактеризации.

4) Сущность конструктивного подхода при получении ДНФ состоит в следуюшем:

а) преобразование операций не-Булевого базиса к операциям Булевого базиса (см. последние строки таблицы)

б) снятие отрицаний над выражениями с применением законов двойственности

в) раскрытие скобок с применением дистрибутивного закона

г) упрощения выражения с применением закона поглощения