3.2. Общая и основная задачи линейного программирования

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции

(3.8)

при условиях

(3.9)

(3.10)

. (3.11)

где - заданные постоянные величины и .

Функция (3.8) называется целевой функцией (линейной формой) задачи (3.8)-(3.11), а условия (3.9)-(3.11) – ограничениями данной задачи.

Стандартной (симметричной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (3.8) при условиях (3.9) и (3.11), где k=m и l=n.

Канонической (основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (3.8) при условиях (3.10) и (3.11), где k=0 и l=n.

Совокупность чисел , удовлетворяющих ограничениям (3.9)-(3.11), называется допустимым решением (планом).

План , при котором целевая функция (3.8) принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

- оптимальный план задачи, если (в задаче на максимум) и (в задаче на минимум).

Замечание. Все 3 формы задачи линейного программирования эквивалентны:

1) Если требуется найти минимум функции

,

можно перейти к нахождению максимума функции

,

т.к. min z=-max(-z).

2) От знака « » в ограничениях можно перейти к «=» добавлением к левой части ограничения дополнительной переменной, а от знака « » - вычитанием дополнительной неотрицательной переменной.

3) Число вводимых дополнительных переменных равно числу преобразуемых неравенств.

Пример 3.1. Записать в форме основной задачи линейного программирования следующую задачу: найти максимум функции

(3.12)

при условиях

(3.13)

Решение. Чтобы записать в форме основной задачи нужно перейти к ограничениям-равенствам:

(3.14)

Данная задача может быть записана в форме основной таким образом: максимизировать функцию (3.12) при условиях (3.14).

Пример 3.2. Записать задачу, состоящую в минимизации функции

(3.15)

при условиях

(3.16)

в форме основной задачи линейного программирования.

Решение. Вместо нахождения минимума функции z нужно найти максимум функции при ограничениях, получающихся из исходных добавлением к левым частям неравенств « », и вычитанием из левых частей неравенств со знаком « » дополнительных переменных. Тогда исходная задача может быть записана в форме основной задачи линейного программирования так:

при условиях

Пример 3.3. Записать следующую задачу в стандартной форме линейного программирования: найти максимум функции

(3.17)

при условиях

(3.18)

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и с помощью метода исключения неизвестных Жордана-Гаусса приведем ее к ступенчатой форме:

~ ~ ~ ~ .

Таким образом, исходную систему мы свели к следующей:

Выразим и через и и подставим в z

Тогда задача будет состоять в нахождении максимального значения функции

при условиях

Замечание. Вводимые дополнительные переменные имеют вполне экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи отражается расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в форме основной, равно объему неиспользуемого соответствующего ресурса.