3.5.2. Методы построения исходного опорного плана

Теорема 3.9. Ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных системы ограничений транспортной задачи равен m+n-1, где m и n- количество поставщиков и потребителей соответственно.

Из теоремы следует, что опорное решение задачи должно содержать m+n-1 базисных и mn-(m+n-1) небазисных, равных нулю неизвестных.

Определение. Циклом, или замкнутым контуром, называется последовательность клеток (i, j) таблицы 3.31 транспортной задачи, в которой каждые две рядом стоящие клетки находятся в одной строке или в одном столбце, при этом первая и последняя клетки совпадают.

Например, μ=[(1,2),(1,4),(3,4),(3,2),(1,2)] есть цикл (таблица 3.32).

Циклы могут быть самой разнообразной конфигурации, однако количество вершин в них всегда четно, и повороты линий цикла производятся только под прямым углом.

Таблица 3.32. Цикл транспортной задачи

j i	1	2	3	4
1
2
3

Решение транспортной задачи будет ацикличным, если в таблице с этим решением невозможно построить ни одного цикла, в вершинах которого были бы все занятые клетки, или если для любой свободной клетки таблицы можно построить только один цикл, содержащий эту свободную клетку, а остальные вершины будут в занятых клетках. Опорное решение транспортной задачи должно быть ацикличным.

Если в опорном решении транспортной задачи число отличных от нуля неизвестных равно m+n-1, то решение называется невырожденным, а если их меньше, то вырожденным.

Метод минимальной стоимости

В таблице из всех значений стоимостей выбираем наименьшее и в клетку (i, j) с наименьшей стоимостью записываем меньшее из чисел и . Исключаем из рассмотрения строку i, если запас вывезен полностью; или столбец j, если спрос удовлетворен полностью; или и строку и столбец, если = . Среди остальных стоимостей снова выбираем наименьшую и заполняем соответствующую клетку таблицы. Таким же образом продолжаем заполнять клетки таблицы, пока не будет найдено опорное решение.

Пример 3.21. Рассмотрим метод на примере, исходные данные которого представлены в таблице 3.33:

Таблица 3.33. Исходные данные для примера 3.21

Поставщики	Потребители				Запас
	1	2	3	4
1	4	3	2 0	1 600	600
2	2 200	1 600	7	9	800
3	3 200	6	8 800	4	1000
Спрос	400	600	800	600	2400 2400

Полученное в таблице решение неопорное, т.к. заполнено 5 клеток, а требуется . занесем в клетку (1,3) объем перевозки, равный нулю. В результате получено ацикличное, вырожденное опорное решение. Заметим, что нулевой объем перевозки можно было разместить в любой свободной клетке таблицы, за исключением клеток (2,3) и (3,2). Если нуль поместить в одну из этих клеток, то клетка с нулем с другими заполненными клетками образует цикл, что недопустимо.

Суммарные затраты на перевозку грузов равны:

.