§12. Похідна від булевої функції

У класичній математиці для з’ясування характеру зміни функції використовують поняття похідної. У дискретній математиці, що оперує логічними функціями змінних, котрі, як і самі функції, приймають значення 0 або 1, поняття похідної вводиться таким чином.

Одиничною залишковою функцією змінної називається функція, одержувана шляхом надання змінній значення одиниця:

.

Нульовою залишковою функцією змінної називається функція, одержувана шляхом надання змінній значення нуль:

.

Похідною першого порядку від булевої функції змінних називається функція, одержувана додаванням за модулем 2 одиничних і нульових залишкових функцій змінної :

Приклад 16. Маємо функцію трьох змінних . Знайти , , .

Розв’язання.

;

;

.

Приклад 17. Маємо функцію . Знайти .

Розв’язання. За умовою задачі змінна є фіктивною. Тому і одинична, і нульова залишкові функції змінної будуть однакові і збіжаться з . Оскільки , одержимо

.

Отже, похідна від булевої функції за фіктивною змінною тотожно дорівнює нулю.

Похідні вищих порядків від булевої функції знаходяться як і похідні першого порядку відповідно до означення похідної, але послідовно, причому в якості наступної функції виступає вже знайдений і спрощений вираз попередньої похідної.

Приклад 18. Знайти похідні , , , , , , від булевої функції трьох змінних .

Розв’язання.

;

;

;

( – фіктивна змінна);

;

;

.

§13. Висловлювання

Стандартними блоками формальної логіки є висловлювання. Під висловлюванням розуміють речення, про яке можна сказати, яке воно істинне чи хибне. Істинність висловлювання будемо позначати 1, а хибність – 0. Позначають висловлювання великими літерами латинського алфавіту …

Наведемо приклади простих висловлювань:

{Київ – столиця України} – це істинне висловлювання;

{Київ – столиця Франції} – хибне висловлювання;

{Київ або столиця України, або столиця Франції} – не являється висловлюванням, бо про нього не можна сказати чи воно істинне, чи хибне.

З простих висловлювань можна утворювати більш складні висловлювання за допомогою логічних зв’язків.

Заперечення. Читається «не », позначається , або . Заперечення – хибне тоді, коли – істинне.

Таблиця істинності :

0	1
1	0

Диз’юнкція. Позначається , читається « або ».

Наприклад: {Тарас пішов на лекцію},

{Тарас пішов в бібліотеку},

{Тарас пішов на лекцію або в бібліотеку}= .

Таблиця істинності :

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Тобто, диз’юнкція двох висловлювань істинна, якщо хоча б одне з них істинне.

Кон’юнкція. Позначається , читається « і ».

Таблиця істинності :

0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Кон’юнкція двох висловлювань істинна лише тоді, коли обидва висловлювання істинні.

Імплікація. Позначається , читається «якщо , то ».

Таблиця істинності :

0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Характер імплікації зв’язаний з причинно-наслідковим відношенням, за яким являється причиною, – наслідком.

{студент знає дискретну математику},

{студент отримав оцінку «п’ять» з дискретної математики},

{якщо студент знає дискретну математику, то він отримав оцінку «п’ять»}.

Еквівалентність. Позначається , читається « еквівалентно », « тотожно », « рівносильно ». можна виразити через кон’юнкцію двох імплікацій, а саме: .

Таблиця істинності :

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Приклад 19. Дано висловлювання: {31 – просте число}, {Тарас – студент}, {земля плоска}. Записати наступні висловлювання в символьній формі:

{31 – просте число і Тарас – не студент},

{якщо Тарас – студент, то земля плоска},

{якщо 31 – просте число і земля не плоска, то Тарас – студент},

{31 – складене (не просте) число або земля плоска}.

Розв’язання. , , , .

Існує різниця між так званими об’єктивними та суб’єктивними висловлюваннями. Якщо її не враховувати, то можна потрапити в протиріччя, які називають логічними парадоксами. Відомий так званий «Парадокс брехуна».

Нехай брехун каже про себе «Я – брехун». Він виступає в протилежній собі якості, тобто каже правду.

«Я – брехун» – сказав брехун, проте в цьому випадку можна стверджувати, що «Я – брехун» – сказав не брехун.

Як бачимо, невідомо як кваліфікувати того, хто це говорить – чи брехун, чи не брехун. Тобто невідомо чи висловлювання істинне чи хибне.

§14. Нечітка логіка

Нечітким висловлюванням називаються речення, відносно якого можна судити про ступінь його істинності чи хибності.

Ступінь істинності чи ступінь хибності кожного нечіткого висловлювання приймає значення з відрізка , причому 0 і 1 це їх граничні значення, які співпадають з поняттями істини і хибності для «чітких» висловлювань. Ступінь істинності (ступінь хибності) кожного нечіткого висловлення може приймати як тільки деякі значення з [0, 1], так і усі значення з [0, 1].

Приклади нечітких висловлювань:

«Два – маленьке число».

«Волга – хороший автомобіль».

«Дівчина була молода».

Нечіткі висловлювання бувають прості і складні. Складні висловлювання утворюються з простих за допомогою введених операцій, таких як заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація та інших. Операції можуть вводитись різними способами. Розглянемо наступний варіант введення операцій.

Запереченням нечіткого висловлювання називається нечітке висловлювання , ступінь істинності якого визначається за формулою .

Кон’юнкцією нечітких висловлювань і називається нечітке висловлювання, ступінь істинності якого визначається наступним чином: .

Диз’юнкцією нечітких висловлювань і називається нечітке висловлювання, ступінь істинності якого обчислюється за формулою .

Імплікацією нечітких висловлювань і називається нечітке висловлювання, ступінь істинності якого визначається виразом

Еквівалентністю нечітких висловлювань і називається нечітке висловлювання, ступінь істинності якого визначається співвідношенням

Розглядаючи , , і т. д. як нечіткі змінні, можна ввести поняття формули в нечіткій логіці так само, як вводились формули логіки висловлювань. Істинність значень цих формул визначається згідно співвідношень введених для , :

1) нечітка пропозиційна змінна є (атомарна) нечітка формула;

2) якщо і нечіткі формули, то , , , нечіткі формули;

3) якщо нечітка формула, то нечітка формула.

Справедливі тотожності:

,

,

,

,

, ,

,

Але в нечіткій логіці не виконується закон виключення третього та закон протиріччя.

Наприклад, маємо:

Звідси випливає, що значення виразу завжди не менше 0.5 (в чіткій логіці ).

Розглянемо тепер формулу

Таким чином, істинне значення для буде завжди не більше 0.5 (в чіткій логіці ).

З означень імплікації та еквівалентності випливають наступні тотожності:

.

Приклад 20. Обчислити значення істинності складного висловлювання у нечіткій логіці для таких значень істинності його атомів: , , .

Розв’язання. Значення істинності даного висловлювання будемо знаходити поступово і проміжні результати будемо записувати в таблицю аналогічно до того як робили для булевих функцій (табл. 16):

Таблиця 16.

0.9	0.4	0.7	0.6	0.3	0.9	0.4	0.3

продовження таблиці 16.

0.7	0.4

, ,

,

,

,

,

.

Отже, значення даного висловлювання дорівнює 0.4.