§7. Принцип двоїстості булевих функцій

Функцію називають двоїстою до функції , якщо .

Наприклад, функції та двоїсті, бо

Якщо функція двоїста сама собі, тобто , то її називають самодвоїстою.

В булевій алгебрі принцип двоїстості можна сформулювати наступним чином:

Для отримання формули , двоїстої до формули , треба у формулі всюди замінити 0 на 1, 1 на 0, на , на .

Приклад 11. Знайти функцію двоїсту до функції , якщо .

Розв’язання. За принципом двоїстості отримаємо:

Використовуючи принцип двоїстості, можна отримувати нові еквівалентні співвідношення. Наприклад: з тотожності випливає тотожність .

В таблиці 12 представлені двоїсті функції до елементарних булевих функцій.

Таблиця 12.

	1	0
	0	1

продовження таблиці 12.

§8. Мінімізація булевих функцій

Булеві функції, як відомо, можуть бути реалізовані різними формулами, проте для практики найбільше значення мають так звані мінімальні нормальні форми, у яких число входжень символів змінних найменше. Для довільних функцій методів знаходження таких форм не існує, мінімізацію проводять лише для диз’юнктивних нормальних форм.

Задачі знаходження мінімальних ДНФ носять назву задач мінімізації.

Введемо деякі поняття.

Змінні та ( ) досить часто називають термами. Повний набір із термів утворює констинтуенту. У процесі мінімізації деякі терми із констинтуент пропадуть. Тоді частину, яка залишилась, називають імплікантою.

Імпліканту називають простою, якщо вона утворює кон’юнкцію змінних. Довільна кон’юнкція отримана із імпліканти викресленням змінної не являється імплікантою.

За основу розв’язання задач мінімізації довільних логічних функцій приймаємо схему, що містить три етапи:

1. на першому етапі складається таблиця істинності функції ;

2. на другому етапі виконується пошук простих імплікант , тобто будується скорочена досконала нормальна форма;

3. на третьому етапі проводиться побудова тупикових (без лишніх імплікант) досконалих нормальних форм, з числа яких відбирають мінімальні досконалі нормальні форми.

Для розв’язання задач мінімізації на другому етапі застосовують методи законів та тотожностей алгебри логіки, метод Куайна, метод Мак-Класкі, метод Блейка, метод Карно. Основним методом для проведення третього етапу є метод імплікантної таблиці логічних функцій (метод Куайна).

Розглянемо деякі з цих методів.

§9. Метод послідовного застосування законів та тотожностей алгебри логіки*

В основі даного методу лежить пошук виразів, які можна записати у більш простому вигляді. При цьому, як правило, найбільше використовуються такі операції та закони логіки:

– операція склеювання;

– операція поглинання;

– дистрибутивний закон;

– ідемпотентність, з цього закону випливає, що кожний доданок в ДНФ можна групувати з іншим неодноразово.

Методом користуються лише в досить простих випадках, він носить елементи довільних розв’язків і являється дуже громіздким. Розглянемо приклад.

Приклад 12. Мінімізувати булеву функцію .

Розв'язання. Скористаємося законом де Моргана, дистрибутивним законом та законом поглинання.

.

Приклад 13. По приведеній таблиці істинності (табл. 13) знайти логічну функцію та спростити її.

Таблиця 13.

0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

Розв’язання. На основі таблиці представимо шукану функцію у вигляді ДДНФ:

.

Для спрощення до правої частини додамо констинтуенту та скористаємося дистрибутивним законом (операцією склеювання).

.

Мінімальна форма функції :

.