§4. Логічні операції з матрицями
Розглянемо матриці з елементами з .
Логічною сумою двох матриць
та
називається матриця
,
елементи якої обчислюються за формулою
.
Логічним добутком двох матриць
та
називається матриця
,
елементи якої обчислюються за формулою
.
Приклад 5. Дано матриці
,
.
Знайти логічну суму
.
Розв’язання. З означення суми отримаємо
.
Приклад 6. Дано матриці
,.
Знайти логічний добуток
.
Розв’язання. З означення добутку отримаємо
.
§5. Булеві функції та теорія множин
Нехай множини
складені з множин
за допомогою формул, що містять
теоретико-множинні операції
,
,
,
,
.
Тоді будь-якій з множин
,
,
можна поставити у відповідність булеву
функцію
,
,
отриману з формули, що задає
,
заміною імен множин
на символи змінних
,
символ
міняється на
,
на
,
на
,
знак доповнення розуміється, як
заперечення.
Розглянемо різницю множин
та
.
Оскільки
,
то у відповідність множині
можна поставити функцію
.
Множинам
та
поставимо у відповідність булеві функції
та
.
Тоді:
Якщо для множин
та
не виконується жодне із співвідношень:
,
,
,
то кажуть, що множини
та
знаходяться в загальному розміщенні
(позначення
).
Якщо між множинами
записано співвід-ношення, що містить,
крім символів теоретико-множинних
операцій, символи:
(декартів добуток),
(включення),
(рівність),
(порожня множина),
(універсальна множина), то у відповідність
формулі для булевої функції робиться
заміна
на
,
на
,
на
,
на 0,
на 1.
Тоді вихідне співвідношення буде істинним для будь-яких множин тоді і тільки тоді, коли булева функція, що відповідає цьому співвідношенню, буде тотожно рівна 1.
Приклад 7.
З’ясувати взаємне розміщення множин
,
,
,
якщо
– довільні підмножини універсальної
множини
.
Розв’язання. Знайдемо відповідні булеві функції та побудуємо їхні таблиці істинності (табл. 9):
Таблиця 9.
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
,
,
.
Відмітимо, що
,
та
,
тобто всі множини різні.
Перевіримо, чи одна з множин є підмножиною іншої. Для цього складемо таблицю істинності імплікацій (табл. 10):
Таблиця 10.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
продовження таблиці 10.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Бачимо, що
,
і
Отже, справедливі
співвідношення:
.
Приклад 8. Перевірити,
що для будь-яких множин
,
,
із виконання включення
слідує виконання включення
.
Розв’язання. Складемо булеву функцію, що відповідає висловлюванню, яке потрібно довести:
.
Побудуємо таблицю і
переконаємося, що заключний стовпець,
який є вектором значень функції
,
складається тільки
з одиниць, що доводить правильність
даного твердження.
Приклад 9.
З’ясувати, чи справедлива рівність
для довільних
,
,
.
Розв’язання. Складемо булеву функцію, що відповідає висловлюванню, яке потрібно довести:
.
Побудуємо таблицю і переконаємося, що заключний стовпець, який є вектором значень функції, складається тільки з одиниць, що доводить правильність даного твердження.