Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Українська академія друкарства
Кафедра математики і фізики
ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА
Математична логіка
Методичні вказівки до розв’язування задач
та індивідуальні домашні завдання
для студентів інженерних спеціальностей
Львів, 2012
Зеліско М. М., Зікрач Д. Ю., Пирч Н. М. Дискретна математика. Математична логіка: методичні вказівки до розв’язування задач та індивідуальні домашні завдання для студ. інженерних спеціальностей / М. М. Зеліско, Д. Ю. Зікрач, Н. М. Пирч. ─ Львів : Українська академія друкарства, 2012. ─ 48 с.
Затверджено кафедрою математики і фізики Української академії друкарства (протокол № 2 від 25 листопада 2011 року).
Автори:
Зеліско М. М., канд. фіз.-мат. наук, асистент
Зікрач Д. Ю., канд. фіз.-мат. наук, асистент
Пирч Н. М., канд. фіз.-мат. наук, доцент
Відповідальний за випуск:
Пушак Я. С., канд. фіз-мат. наук, доцент
Верстання:
Шевчук Г. Я.
§1. Булеві функції
Функції
,
де
,
називаються функціями логіки або
булевими функціями.
Всю множину булевих функцій
змінних позначимо
.
Булеві функції від змінних можна задавати таблично, векторно, або за допомогою формул.
При табличному задаванні
задається таблицею істинності (табл.
1):
Таблиця 1.
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
В таблиці, що задає булеву функцію, набори значень змінних пишуть в лексикографічному порядку, який співпадає з порядком зростання наборів, що розглядаються, як числа в двійковій системі числення.
Якщо число змінних
,
то таблиця істинності містить
рядків, які відповідають всім можливим
комбінаціям змінних.
При векторному заданні задається вектором, що відповідає стовпцю значень функції в таблиці істинності.
Набори
і
значень змінних називаються сусідніми
по
-тій
змінній, якщо вони відрізняються тільки
-тою
координатою, тобто мають вигляд:
.
Змінна
називається фіктивною змінною
булевої функції
,
якщо для будь-яких наборів
та
,
сусідніх по
-тій
змінній, виконується рівність
.
Змінна
називається істотною змінною булевої
функції
,
якщо існує хоча б одна пара
,
наборів значень змінних, сусідніх по
-тій
змінній, така, що справедлива нерівність
.
Приклад 1. Нехай
задана таблицею істинності (табл. 2):
Таблиця 2.
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Оскільки
для будь-якого
,
то
– фіктивна змінна. З того, що
випливає, що
– істотна змінна.
§2. Булеві функції однієї та двох змінних
Є чотири булеві функції однієї змінної. Задамо їх таблицею 3.
Таблиця 3.
Змінна
|
0 |
1 |
|
|
Назва функції |
Позначення |
|
|
Фіктивна змінна |
Нуль |
0 |
0 |
0 |
|
Тотожність |
|
0 |
1 |
|
Заперечення |
|
1 |
0 |
|
Одиниця |
1 |
1 |
1 |
|
Булевих функцій двох змінних є 16. Знайдемо їх за допомогою таблиці 4.
Таблиця 4.
|
Змінна |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
Змінна |
0 |
1 |
0 |
1 |
|||
№ |
Назва функції |
Позначення |
|
|
|
|
Фіктивні змінні |
1 |
Нуль |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
Кон’юнкція |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
4 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
5 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
6 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
7 |
Додавання за модулем 2 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
8 |
Диз’юнкція |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
9 |
Стрілка Пірса |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
10 |
Еквівалентність |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
11 |
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
12 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
13 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
14 |
Імплікація |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
15 |
Штрих Шеффера |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
16 |
Одиниця |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
, |
,
,
,
,
,
,
,
Функції з таблиці 3 та функції 1-2, 7-10, 14-16 з таблиці 4 будемо вважати елементарними.