2.2. Аналитические методы расчета
Суть методов сводится к следующему. Составляют систему уравнений по законам Кирхгофа. Поскольку характеристики нелинейных элементов, входящих в уравнения, не имеют точного аналитического описания, то их аппроксимируют (заменяют) известными аналитическими функциями, которые могут быть как линейными, так и нелинейными. Выбор аппроксимирующей функции зависит от конкретной решаемой задачи. В роли аппроксимирующих функций могут выступать степенные полиномы с заданным числом членов, а также логарифмические, экспоненциальные функции и др. Затем полученную систему уравнений решают аналитически. Ясно, что трудоемкость решения системы уравнений напрямую зависит от выбранных аппроксимирующих функций.
Покажем это на следующем примере.
Рассмотрим общий принцип аппроксимации степенным полиномом. Например, задана нелинейная характеристика , не имеющая точного аналитического описания, рис. 2.7.
Рис. 2.7
Диапазон
изменения аргумента
.
В качестве аппроксимирующей функции выберем степенной полином
, (2.9)
где
,
,
- коэффициенты, которые требуется
определить.
Рассмотрим аппроксимацию с разными членами полинома (2.9).
1) Линейная аппроксимация
.
(2.10)
Найдем
коэффициент
,
для этого возьмем крайнюю точку
,
и подставим в уравнение (2.10):
,
откуда
.
Аппроксимирующая
функция имеет вид
,
рис. 2.7, график 1.
2) Квадратичная аппроксимация
.
(2.11)
Найдем
из
условия, что парабола должна проходить
через крайнюю точку диапазона (
,
):
,
откуда
.
Аппроксимирующая
функция
показана на рис. 2.7, график 2.
3) Аппроксимация кубической параболой
.
(2.12)
Найдем
коэффициент
из тех же условий, что в предыдущих
случаях
.
На
рис. 2.7 функция
показана под номером 3.
4) Общий случай аппроксимации степенным полиномом (2.9).
Для
определения трех коэффициентов
,
и
составим систему
из
трех уравнений. На заданной характеристике
возьмем три узловых точки, соответствующих
,
и
,
в которых аппроксимирующая функция
(2.9) и характеристика будут точно
совпадать. Обычно узловые точки выбирают
на заданном диапазоне и по виду
характеристики
,
рис. 2.7.
Например, возьмем следующие точки, исходя из вида :
1)
;
;
2)
; 
;
3)
; 
.
Составим систему из трех уравнений (2.9) для указанных узловых точек:
;
;
;
или
;
;
.
Представим систему в стандартном виде и решим ее относительно неизвестных коэффициентов:
;
;
.
; 
; 
,
тогда аппроксимирующая функция примет вид
.
(2.13)
На рис. 2.7 функция (2.13) не представлена, т.к. практически совпадает с исходной зависимостью .
Из рассмотренных четырех вариантов аппроксимации выбирается наиболее приемлемый, исходя из требуемых критериев точности получаемых аналитических решений. Кроме того, при выборе аппроксимирующих функций необходимо учитывать симметрию исходной характеристики.
Отметим, что кроме одной аппроксимирующей функции на рассматриваемом диапазоне изменения , можно выбирать несколько аппроксимирующих функций, справедливых на своем отрезке. В этом случае система уравнений решается столько раз на сколько отрезков разбит диапазон изменения . Полученные таким образом решения «сшиваются» на границах отрезков. Например, метод кусочно-линейной аппроксимации позволяет каждый раз решать систему линейных уравнений для выбранных отрезков изменения х.
Мы рассмотрели непосредственную аппроксимацию какой-либо характеристики нелинейного элемента, кроме того, при расчете установившихся режимов в нелинейных электрических цепях применяют аппроксимацию периодических несинусоидальных функций (переменных), зависящих от времени их эквивалентными синусоидами. При этом эквивалентность может устанавливаться по их действующим значениям или по их первым гармоникам (после разложения в ряд Фурье). Такая замена позволяет применять комплексный метод расчета для большой группы нелинейных цепей переменного тока.