Метод Гаусса

Это один из самых распространённых методов решения систем линейных уравнений.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования её к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производятся на этапе обратного хода.

Его недостатками являются неприменимость к решению систем нелинейных уравнений и большие затраты по времени пропорциональные

Метод Гаусса-Зейделя

Это простейший из всех итерационных методов, в котором значения переменной рассчитываются путём обращения в определённом порядке к каждой узловой точке.

Для ДА, записанного в виде , новое значение в рассматриваемой узловой точке будет рассчитываться по соотношению

где - значения функции в соседних точках, рассчитанные на текущей и предыдущей итерации.

Достоинства данного метода в его простоте программной реализации и более быстрый, по сравнению с линейными методами, поиск решения в матрицах большого размера. Время, затраченное при использовании этого метода, пропорционально .

Главным недостатком является очень медленная сходимость, особенно когда используется большое число узловых точек. Причиной такой медленной сходимости является то, что метод передаёт информацию о ГУ со скоростью один сеточный интервал за итерацию. Так же к недостаткам можно отнести сложный контроль условия сходимости (критерий Скарбороу).

Метод верхней релаксации

При итерационном решении алгебраических уравнений или при полностью итерационной схеме, используемой для преодоления нелинейности, итерационный процесс не всегда приводит к сошедшемуся решению. Иногда значения искомой величины колеблются от итерации к итерации или всё время «плывут». Такой расходимости итерационного процесса следует избегать. Один из способов достижения сходимости, известный как метод релаксации, заключается в замедлении (метод нижней релаксации) или ускорении (метод верхней релаксации) изменения зависимой переменной.

Метод верхней релаксации часто используют в сочетании с методом Гаусса-Зайделя (метод последовательной верхней релаксации). Нижняя релаксация является очень удобным способом для нелинейных задач. Этот способ часто используется для того, чтобы избежать расходимости при итерационном решении сильно нелинейных уравнений.

Один из способов использования этих методов – использование коэффициента релаксации . Уравнение с учётом будет выглядеть следующим образом:

где - значение с предыдущей итерации.

Нет общих правил для выбора наилучшего значения . Его выбор зависит от ряда факторов: физическая основа задачи, число узловых точек, шаг сетки, используемый итерационный метод. Обычно из предварительных расчётов можно найти подходящее значение .

Значение может изменяться от итерации к итерации. Так же возможен выбор различных значений для каждой узловой точки.

В данной работе определяется из квадратного уравнения

В этом уравнении

где и - количество интервалов вдоль оси и соответственно.