ответы на тесты, билеты / ответы на экзаменационные вопросы, 2 семестр, ратафьева / 24-40

24. Криволинейные интегралы 1 рода, определение, теорема существования. Свойства.

Пусть в плоскости x0y задана некоторая

кривая АВ, причем а<b и в каждой ее (.)

определена f(x,y)

Выполним 5 операций

1.Разобъем кривую АВ

точками M₀=A, M₁, M₂...M_k....M_n=B

обозначив d=d₁ d₂ d₃ ...d_n длины хорд,

стягивающих дуги =sup{d_k}

назовем рангом дробления.

2.Возьмем в каждом участке [М_k M_k+1] (.) и вычислим в ней значение функции.

3.Составим произведение f( _k ,_k )*d_k

4. Составим интегральную сумму _n= f( _k ,_k )*d_k (сумма Римана)

5.Измельчая дробление и ранг дробления ищем I=lim _n (n∞,∞) Если этот предел существует и независит от способа дробления и выбора _k ,_k, то он называется криволинейным интегралом дуге I=

Теорема существования.

1.Пусть кривая AB задана параметрическим уравнением x=(t), y=(t) {t[p;q]},где ф-и (t), (t), (t) и (t) определены и непрерывны на [p,q]

2. Пусть в каждой (.) АВ f(x,y) неперывна, тогда крволинейный интеграл 1 рода пол кривой АВ J=cуществует и выражается через определенный интеграл так :

Часный случай т.Существования (Если АВ задана явным уравнением y=(t), x[a;b] )

1. Если АВ задана явным уравнением y=(t), x[a;b] :  (t) и (t) непрерывны

2. Функц. f(x,y) непрерывна в каждой (.) АВ , то тогда криволинейный интеграл 1-го рода по АВ существует и выражается так :

Свойства (вытекают из св-в определенного т.к. он выр-ся через определен.)

1. a ∫af(x)dx=0

2. = - это очевидно, если обратится к интегр-ой Σ для левого и правого интеграла. Для правого мы дробим с права на лево Δx_k будет отличаться знаком.

3. = + Для док-ва достаточно перейти к инте-ой Σ: Σ(f₁+f₂)=Σf₁ + Σf₂

4. =c₁ + c₂

5.Отр.[a;b] разбить на отерзки (.)С, то при любом расположении т.а,b,с справедливо равенство: = +

6.Оценка опр-ого инт-ла. Т: если y=f(x) непрерывна на пр.[a;b], то на этом пр-ке справедлива такая оценка опред.интегр. m(b-a) M(b-a) Док-во: Т.к y=f(x) непрерывна на пр.[a;b], то на нем она ограничена,

т.е. существ. m,M: m≤f(x)≤M. Проинтегрируем почленно:

 ; =m =m(b-a);

аналогично и (.) М

7.Если на пр[a;b]: φ(х)ψ(х) 

8.Теорема о среднем. Если y=f(x) непрерывна на пр.[a;b], то в нутри пр. найдется т. ξ: a<ξ<b, для которой будет выполнено соотношение: =f(ξ)(b-a), ξ – средняя точка. С геометр.точки зрения: площадь криволинейной трапеции, ограниченной y=f(x), осью ОХ и х=а, х=b.

Док-во: Т.к. ф-ция f(x) непрерывна на пр.[a;b] => в силу т.Веерштрасса о св-вах непрер-ых ф-ций она достигает наиб.и наим. m и M. m≤f(x)≤M;

m(b-a)≤ ≤M(b-a) m≤≤M. В силу т.Коши (принимая 2 каждых значения ф-ция принимает промежуточные) Существует ξ: f(ξ)= => =f(ξ)(b-a)

9.Интегрирование не нарушится если в некоторых точках пр.[a;b] изменить значение подинтегральной ф-ции.

25. Криволинейные интегралы 2 рода, определение, теорема существования. Свойства.

Пусть в плоскости x0y задана некоторая

кривая АВ, причем а<b и в каждой ее (.)

определена f(x,y)

Выполним 5 операций

1.Разобъем кривую АВ

точками M₀=A, M₁, M₂...M_k....M_n=B

Этому разбиению соответствет разбиение АВ

на x₀<a<x₁<x₂...x_k-1<x_k...<x_n<b x_k= (x_k-1-x_k)

=sup{x _k} назовем рангом дробления.

2.Возьмем в каждом участке [М_k M_k+1] (.) и вычислим в ней значение функции.

3.Составим произведение f( _k ,_k )* x_k

4. Составим интегральную сумму _n= f( _k ,_k )* x_k

5.Измельчая дробление и ранг дробления ищем предел I=lim _n (n∞,∞) Если этот предел существует и независит от способа дробления и выбора _k ,_k, то он называется криволинейным интегралом дуге I=

ЗАМ1 Принята такая запись:

ЗАМ2 Может оказаться, что кривая АВ, по которой ведется интегрирование представляет собой замкнутый контур. Тогда интнграл обозначается так: (со стрелочками в кружочке в разные стороны) – указывается напрвление хода контура. Если нет указаний на направление хода контура, то барется напрвление, при котором наблюдатель, идущий по контуру оставляет область, ограниченную контуром слева от себя

ЗАМ3. Может оказаться, что интегрирование по кривой

АВ не зависит от того, какой кривой соединины эти точки.

Теорема существования.

1.Пусть кривая AB задана параметрическим

уравнением x=(t), y=(t) {t[p;q]},где ф-и (t), (t), (t) и (t) определены и непрерывны на [p,q]

2. Пусть в каждой (.) АВ f(x,y) неперывна, тогда крволинейный интеграл 2 рода пол кривой АВ J=cуществует и выражается через определенный интеграл так :

Часный случай т.Существования (Если АВ задана явным уравнением y=(t), x[a;b] )

1. Если АВ задана явным уравнением y=(t), x[a;b] :  (t) и (t) непрерывны на [a,b]

2. Функц. f(x,y) непрерывна в каждой (.) АВ , то тогда криволинейный интеграл 1-го рода по АВ существует и выражается так :

Свойства (вытекают из св-в определенного т.к. он выр-ся через определен.)

1. . = - это очевидно, если обратится к интегр-ой Σ для левого и правого интеграла.

2. = - Изменение хода интегрирования меняет знак на противополжный.

3. Отр.[a;b] разбить на отерзки (.)С, то при любом расположении т.а,b,с справедливо равенство: = +

Теперь только достаточно обозначит замкнутую кривую AMBNA буквой L

2.Второе утверждение : Если интеграл по замкнутоиу контуру =0, то он не зависит от пути интегрирования, доказывается аналогично, для чего надо разбить контур L на 2 участка.

ТЕОР1. Для того, чтобы не зависел от пути интнгрирования, необходимио и достаточно, что бы в каждой (.) области S было выполнено условие : (*)

Док-во (достаточность):Допустим в каждой (.) области S выпол-ся это словие. В замкнутый самоненпересекающийся контур L , целиком лежащий в области S и ограничивающий область Д. По формуле Грина:

тк выполнено условие (*), то в силу леммы он =0

Необходимость: Пусть (*) не выполнено всюду в S и найдется (.)M₀ Пусть для определенности в этой (.) Так как часные производные

непрерывны, то можно найти круг ∆p с центром в (.)M₀

сколь угодно малого радиуса p , что последнее неравенство действительно во всех точках области ∆p. Пусть L – контур области ∆p. Для этой области справедлива формула Грина, но т.к. в каждой (.) области ∆p

,то двойной интеграл  нашелся контур L_p такой, что

ТОР2. Если в каждой точке области S функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны и имеют часные производные и в каждой (.) выполнено условие (*), то выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy является полным дифференциалом непрерывной функции

т.е.

Док-во: Пусть в каждой точке области S ваполняется

условие (*) .Закрепим (.)A(a,b) и пусть M(x,y) –

какая-либо точка в области S. Тогда интеграл

зависит от (.)М и не зависит

от линии АМ. Это означает, что описанный интеграл является функцией от переменных x и y. Обозначим его Ф(x,y), тогда можем записать: . Продифиренцируем функцию Ф(x,y) по переменной x. Для этого, исходя из (.) М(x,y), дадим x приращение x., взяв его столь малым, что отрезок MN, соединяющий точки М(x,y) и N(x+x, y),что он целиком лежит а области S, тогда :

Выразим криволинейный интеграл, стоящий в правой части через определенный интеграл, учитывая , что на MN dy=0 , а x[x,x+x]. Тогда получим Применим к пределенному интегралу, стоящему справа теорему о среднем, тогда , причем xx+x, тогда Итак ми получим:

Аналогично можно доказать, что тоже существует, причем

Следовательно ф-я Ф(x,y) дифференцируема, причем

ЗАМ Доказанная теорема дает возможность находит ф-ю Ф(x,y) по ее полному диференциалу с помощью криволинейного интеграла .Для этого нужно закрепить к.л. точку (a,b), а затем взяв произвольную (.)(x,y), соединить их к.л. кривой L и вычислить , лишь бы только на этой кривой были бы выполнениы условия т. сущ-я криволинейного интеграла 2 рода.

26.Формула Грина

Пусть задана некоторая облать Д, ограниченная

снизу кривой y=(x), сверху - y=Ф(x), а с боков

отрезками АВ и СD, авраллельными оси oy.И пусть

в этой области определена функция P(x,y)имеющая

непрерывную часную производную

P(x,y). Вычислим J=. Переходя

к повторному интегралу получим . С другой стороны интеграл по контуру области Д .

Правые части 2 последних фрпмул отличаются только знаком  Полученная формула называется малой формулой Грина. Можно сказать, что она справедлива

и для области Нетрудно доказать, что эта формула

справедлива любой области, распадающейся на конечное

число частей, изображ.на рисунках. Если в области Д

определена и непрерывна функция Q(x,y), имеющая

непрерывную производную , то нетрудно доказать и 2-ю малую формулу Грина. (док-ть по 2 рисунку)

Складывая эти 2 полученные малые формулы Грина получаем большую формулу Грина:

Эта формула устанавливает зависимость м/у двойным интегралом по области Д и криволинейным интегралом по этой области.

ЗАМ1(О вычислении полщади с помощь криволинейного интеграла.)

Положим в ф.Г. P(x,y)= -y,Q(x,y)=x, тогда получим.При таких значениях функций интеграл, стоящий в левой части формулы Грина дает нам удвоенную площадь области Д, отсюда следует .По этой формуле можно вычислиь площадь области Д, ограниченной контуром K_D

27. Вычисление площади плоской области, ограниченной замкнутой кривой, с помощью криволинейного интеграла.

СМ БИЛЕТ № 26

Вычислим площадь эллипса x=a*cos t y=a*sin t. Очевидно, что параметр t изменяется от 0 до 2, точка (x,y) обегает полный контур эллипса в положительном направлении. Учитывая, что x_t = -a*sin t y_t=a*cos t

S_элл=

28. Необходимое и достаточное условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Пусть функции Р(x,y) и Q(x,y) определены и нерперывны в некоторой области S и имеют в ней непрерывные часные производные. Будем рассматривать кривые, целиком лежащие в области S и эти кривые можно представит как x=(t) y=(t) t[p,q], причем эти ф-и непрерывны и имеют часные производные.

ОПР1 Говорят, что интергал не зависит от пути интегрировани, если результаты интегрирования по любой кривой, соединяющей точки (.) А и В совпадают т.е.

ОПР2 Говорят, что интеграл по замкнутому контуру =0

если для любого замкнутого самоненпересекающегося

контура L , целиком лежащего в области S.

ЛЕММА ОПР1 эквив. ОПР2. 1.Докажем, что если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то тогда по любому замкнутому контуру он = 0.

? 29. Свойства криволинейного интеграла, на зависящего от пути интегрирования

1.зависит от отчек А и В , но не от кривой АВ

2.Каков бы ни был замкнутый самонепересекающийся контур L

3.Всюду в S

4.Выражение есть плный диференциал Ф(x,y)

5. Ф(x,y) непрерывна т.к. P(x,y) и Q(x,y) непрерывны ( P(x,y) и Q(x,y)-непрерывны).

6.

36. Векторное поле, векторные линии, векторные поверхности, векторная трубка.

Если с каждой точкой некоторой пространственной областью связано значение а. а^→=а_х(x,y,z,t)i^→+а_у(x,y,z,t)j^→+a_z(x,y,z,t)k^→. То говорят, что задано векторное поле или поле а.

V^→(x,y,z,t) Рассмотрим поле текущей жидкости. Если V жидкости в русле реки, то очевидно, что свезав с руслом реки систему координат, мы получим переменный вектор V в разных точках разные V и в разное время суток (таяние льда: V больше днем; V меньше ночью) Если V^→ зависит только от x,y,z, то поле наз-ся стационарным (т.е. стационарное, если не зависит от времени). Очевидно, что задание однако векторного поля эквавалентно заданию трех скалярных полей.

Опр1: Кривая l наз-ся векторной линией, если

в каждой точке этой кривой вектор поля

соотнесенной этой точки касается этой прямой.

l – векторная линия. Если l задана параметрич.

ур-ием: {x=x(t); y=y(t); z=z(t)} τ^→(d_x,dy,d_z) τ^→ –

касательный вектор с координатами.

Очевидно, что а^→ и τ^→ коллениарны. а^→ =λτ^→ => координаты пропорциональны. а_х(x,y,z,t)/dx=а_у(x,y,z,t)/dy=a_z(x,y,z,t)/dz – Проинтегрировав найдем семейство векторных линий.

Опр2: Поверхность образован.вект.линиями

проходящими через данную кривую К наз-ся

векторной поверхностью. Если К замкнутая,

то векторная поверхность наз-ся векторной

трубкой

32. Формула Остроградского(вывод)

Пусть в теле Т задана функция R(x,y,z), пусть

задана производная .Пусть тело Т

ограничено сверху S₁ , снизу S₂, с боков - S₃

Рассмотрим такой интеграл :

Каждый из этих интегралов – поверхосный интеграл.

Заметим, что т.к. пов-ть проецир-ся в прямую.

т.о. мы можем выразить тройной интеграл через поверхносный.

Примем во внимиание, что интеграл по поверхности равен сумме интегралов по ее частям -малая формула Остроградского.

Предполжив, что в данном теле функции P(x,y,z) и Q(x,y,z) непрерывны, а так же непрерывны часные производные Мы можем вывести еще 2 малые формулы Остроградского.

Сложим все 3 формулы почленно.

большая формула Остроградского.

Формула остроградского устанавливает зависимомость м/у тройным интегралом по телу Т и поверхносным интегралом по поверхности, ограничивающей тело Т.

В правой части формулы перейдем к поверхносному иетегралу 1 рода.:

, где , , - углы нормали к внешней пов-ти S с координатными осями.

30. Поверхносный интеграл 1 рода. Определение. Теорема существования

Пусть задана некоторая поверхность S, и в каждой

ее (.) определена f(x,y,z)

Выполним 5 операций

1.Разобъем поверхность S сетью простых кривых

на ячейки S ₁, S ₂... S _k.... S _n с площадями

S ₁,  S ₂... S _k.... S _n обозначив d=d₁ d₂ d₃ ...d_n

диаметры этих ячеек =sup{d_k}

назовем рангом дробления.

2.Возьмем в каждой ячейке S (.) M( _k ,_k, _k )

и вычислим в ней значение функции f( _k ,_k, _k ).

3.Составим произведение f( _k ,_k, _k )* S

4. Составим интегральную сумму _n= f( _k ,_k )*S_k (сумма Римана)

5.Измельчая дробление и ранг дробления ищем I=lim _n (n∞,∞) Если этот предел существует и независит от способа дробления и выбора _k ,_k , _k, то он называется поверхносным интегралом 1рода I=

Теорема существования.

1.Пусть пов-ть S задана уравнением Z=f(x,y) причем f(x,y)определена и непрерывна в простой области D плоскости xOy и имеет в этой области непрерывные часные производные

2. Пусть в каждой (.)пов-ти S подинтегральная F(x,y,z) неперывна, тогда поверхносный интеграл 1 рода от f(x,y,z) cуществует и выражается через определенный интеграл так

Свойства: (совпадают со св-ми двойного интеграла)

1.

2.Если в плоскости S

3. Оценка поверхносного интеграла 1рода. Если f(x,y,z) непрерывна на пов-ти S сущ-ет m, M:

, где S_S – площадь пов-ти S

док-во: т.к. f(x,y,z) непрерывна на пов-ти S , то она имеет наименьшее m и наибольшее M значение ,те имеют место неравенства : mf(x,y,z)M 



4. Теорема о среднем. Если f(x,y,z) нерерывна на плоскости S, то тогда на плоскости S найдется точка с координатами ( , ,) тогда

Док-во: т.к. функция непрерывна тогда на плоскости S, то всилу св-ва 3 справедливо

Но непрерывная функция, принимая любые два значения, принимает и промежуточное. 

31.Сторона поверхности.Поверхносный интеграл 2 рода. Теорема существования.

Возьмем некоторую поверхность S на ней – (.)М₀

и в (.)М₀ построим нормаль и закрепим на ней к.л.

определенное напавление. Перемещая основание

нормали по к.л. кривой перейдем в (.)М, а потом

возвратимся обратно, при этом не выходя за грань S

Может оказаться, что после такого обхода нормаль

перевернется . Если на поверхности имеется хотя

бы 1 контур, переворачивающий нормаль, то такая

поверхность называется односторонней. Дадим строгое определение стороны пов-ти.

ОПР1. Стороной пов-ти наз-ся совокупность точек на пов-ти вместе с соответствующими направлениями нормалей, напрерывно переходящих друг в друга при перемещении основании нормали по пов-ти.

Двусторонняя пов-ть имеет 2 стороны, а односторонняя пов-ть не имеет ни одной стороны.

Если двусторонняя пов-ть задана ур-м Z=f(x,y), где

и f(x,y)

непрерывны в области D плоскости xOy, то для

верхней стороны пов-ти(образующей острый угол с Z)

направляющие косинусы нормали равны:

а для нижней стороны поверхности:

Поверхносный интеграл 2 рода.

Рассмотрим двустор. пов-ть S, которая распологается

над областью D плоскости xOy и пусть в каждой (.)

этой пов-ти опред ф-я f(x,y,z).

Выполним 6 операций:

1.Закрепим на пов-ти S к.л. сторону пов-ти – верхнюю

или нижнюю.

2.Разобъем поверхность S сетью простых кривых

на ячейки S ₁, S ₂... S _k.... S _n , которые проектируются

на пл-ть xOy в ячейки D ₁,D ₂... D _k....D _n с площадями

F ₁, F ₂... F _k.... F _n обозначив d=d₁ d₂ d₃ ...d_n

диаметры этих ячеек =sup{d_k}

назовем рангом дробления.

2.Возьмем в каждой ячейке S (.) M( _k ,_k, _k ) и вычислим в ней значение функции f( _k ,_k, _k ).

3.Составим произведение f( _k ,_k, _k )* F_k

4. Составим интегральную сумму _n= –для верхней стороны и _n=-для нижней стороны

5.Измельчая дробление и ранг дробления ищем I=lim _n (n∞,∞) Если этот предел существует и независит от способа дробления и выбора _k ,_k , _k, то он называется поверхносным интегралом 2рода I=

точно так же определяются и интегралы : I= I=,причем принято обозначение :

I=

Теорема существования.

1.Пусть двусьоронняя пов-ть S задана уравнением Z=f(x,y) причем f(x,y)определена и непрерывна в простой области D плоскости xOy и имеет в этой области непрерывные часные производные

2. Пусть в каждой (.)пов-ти S подинтегральная F(x,y,z) неперывна, тогда поверхносный интеграл 1 рода от f(x,y,z) cуществует и выражается через определенный интеграл так

37. Поток векторного поля. Его механический смысл.

Возьмем поле вектора а а^→=а_хi^→+а_уj^→+a_zk^→

некоторую двухсторонюю поверхность S

и зафиксируем одну из сторон поверхности

закрепив нормаль n^→. a_n=nρ_n→a^→. Пусть

в пределах элементарной площадки ΔS вектора

a^→ и n^→ не меняются, т.е. ΔS – плоская и вектор

есть постоян.

ΔQ=a_nΔS – элементар.поток векторного поля

а, через площадку ΔS выбранную сторону.

Измельчая площадку ΔS и выполняя суммирования элементарных потоков по всей поверхностей S получим: Q=∫∫_Sа_ndS – поток векторного поля а через поверхность S в выбранную сторону.Выясним механический смысл потока векторного поля для чего рассмотрим V текущей жидкости. V^→=V_х(x,y,z,t)i^→+V_у(x,y,z,t)j^→+V_z(x,y,z,t)k^→ н V_k=пр_n→V^→. Δt; частицы продвинуться через площадку ΔS за Δt и заполнят собой косой цилиндр высота которого V_n Δt а масса жидкости заполняющий косой цилиндр Δm=ρV_nΔtΔS; ρ=ρ(x,y,z,t), где ρ – плотность жидкости. ρ=const=1. Тогда выполняя суммирование элементарных масс по всей поверхности S получим M=(∫∫( ρV)_nΔS)Δt; M/Δt – количество жидкости протекающей через поверхность S за един.времени, => поверхность интегр. ∫∫( ρV)_ndS дает нам кол-во жидкости протекающей через двух сторон.поверхность за единицу времени.

38. Дивергениция векторного поля, ее механический смысл.

Опр: Дивергенцией векторного поля (его расходимостью) наз-ся выражение: div а^→ =∂а_x/∂x + ∂а_y/∂y + ∂a_z/∂z. Механический смсл Дивергениции

Замечание 1 : Механический смсл Дивергениции. Пусть тело Т мало.

∫, где Q-поток. Применим теорему о среднем к тройному интегралу слева.

Если сжимать тело в точку, то из этого соотношения мы можем сделать вывод, что дивнргенция векторого поля вычислен. в точке М₀ дает нам кол-во жидкости вытекающей из точечного источника за единицу времени (удельную силу источника). Если в (.)М₀ div>0, то мы имеем источник в точке М₀, если div<0 в т.М₀ имеется сток.

Замечание 2: В силу т.Остроградского: принимая во внимание, что тройной интеграл есть сумма мы можем сказать, что поток векторного поля через замкнунутую поверхность наружу равна сумме попарных произведений удельных сил точечных источников на элементарные обьемы заключающие внутри себя эти источники.

33.Вычисление объема тела с помощью поверхносного интнграла 1 и 2 рода.

Формула Остроградского позволяет легко получить формулук для вычисления объема тела Т с помощью поверхносного интеграла по поверхности, ограничивающей тело Т. Если положить в формуле Остроградского P(x,y,z)=x Q(x,y,z)=y R(x,y,z)=z, тогда плучим:

34.Скалярное поле. Поверхности уровня. Градиент. Оператор. Гамильтона.

Если с каждой точкой некоторой пространственной области Т связано значение значение скалярной величины U(x,y,z), то говорят, что задано скалярное поле.

Если мы зафиксируем значение поля, то получим множество точек для которых поле имеет постоянное значение. Такая поверхность называется поверхностью уровня. U(x,y,z)=c. Различные поверхности уровня не пресекаются и через каждую (.) пространства проходит одна из них.

Допустим поле не имеет особых точек. Рассмотрим поверхность уровня U(x,y,z) Нормаль к U(x,y,z) в (.)М₀ (x₀,y₀z₀) имеет координаты:

Градиентом U(x,y,z) называется переменный вектор, который обозначается как:

Очевидно, что градиент скалярного поля перпендикулярен к поверхности уровня в каждой ее точке.

Градиент – векторная хар-ка скалярного поля. С помощью оператора Гамильтона градиент записывается так :

39. Векторная форма теоремы Гауса – Остроградского.

Теорема: Поток векторного поля через замкнутую поверхность S наружу равен тройному интегралу от дивергенции этого векторного поля по телу S

Док-во: Поток вектор.поля через поверхность S наружу:, где - нормаль к поверхности S, ограничивающей тело Т, а a_n – проекция вектора на эту нормаль. Пусть нормаль составляет углы λ, μ, ν с координатными осями. Тогда очевидно, что проекция а на эту нормаль:

a_n=a*n₀=a_xcos+ a_ycos+ a_ycos=(а_х,а_у,a_z)(cosλ,cosμ,cosν)=

тогда поток Q можно выразить так :

по формуле устанавливающей связь м/у интегралами 1 и 2 рода :

По формуле Остроградского:

Заметим, что под знаком тройного интеграла в правой части стоит дивергенция векторного поля , тогда окончательно можно записать :

35. Производная по направлению. Связь ее с градиентом.

Возьмем в поле скалярной величины некоторую ось l

Возимем на ней 2 точки М(x,y,z) и N(x+x,y+y,z+z)

Обозначим =пр_lMN

ОПР Производной от U(x,y,z) по направлению l

наз-ся

Заметим, что справа стоит скалярное призведение 2-х векторов:

проекция максимальна, если (ось l направлена по градиенту)

Всякая производная имеет смысл скорости. Наибольшая скорость изменения поля равна модулю grad и направление изменения скорости совпадает с направлением градиента

40. Соленоидальное векторное поле. Свойства.

Def: Понятие дивергенции вводится для векторного поля, но она сама есть скалярная характеристика векторного поля. Если принять во внимание оператор Гамильтона :

мы можем записать

Определение: наз-ся соленоидальным если в каждой точке , т.е.. Поток соленоид.вектор.поля через замкнутую поверхность наружу равен 0. Рассмотрим тело ограниченное вектор.трубкой и

ее 2-мя поперечными сечениями. diva→=0. Пусть

поле соленоидально, тогда поток Q=0 с другой

стороны Q=Q₁+Q₂+Q₃. Q₃=0; Q=Q₁+Q₂. Q₁=-Q₁

Q1 и Q2 внешние нормали

Q=-Q₁- поток в противополжном направлении.

Поток соленоидального вектор.поля через

Поперечное сечение вект.трубки сохраняет постоянное значение и наз-ся напряжением векторной трубки. Заметим, что если рассмотреть поле V тек.жид.в которой нет источников и истоков, то div ∂V_х/∂x+∂V_у/∂y+∂V_z/∂z=0 –

ур-ие неразрывности. Таким соотношение связаны проекции скоростей текущей жидкости.