лекции, учебные пособия / лекции по аналитической геометрии, 1 сем. / rataph

Скаляр – мат. объект характ. числом. Вектор – мат. объект характеризующийся числом и направлением. Произведением в. а на скаляр  наз. в. С= *а такой, что |C|=||*|a|, а направление совпадает с напр. в. а. ((а)= (А), 0*а=0, -1*а=-а, (+)а=а+а). Вектор называют единичным (ортой) если его длина равна единице. Вектора наз. коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (компланарными, если они лежат в одной плоскости).(св-ва сложения: 1. А+В=В+А 2. А+0=А 3. А+(-А)=0 4. (А+В)+С=А+(В+С).

Даны в. А1,А2, … Аn и константы С1,С2,…Сn. Выраж. С1А1+С2А2+…+СnAn наз. линейной комбинацией. В. наз. линейно зависимыми если их линейная комбинация обращ. в 0 если хотя бы одна из констант  0. Даны в. Р1, Р2,…Рn. В. наз. линейно зависимыми если хотя бы один из этих векторов можно выразить в виде лин. комб. остальных. Коллин. и кампланарные в. линейно зависимы. В. наз. линейно независимыми если их линейная комбинация обращ. в 0 если все Сi = 0. В. наз. линейно зависимыми если ни один из этих векторов нельзя выразить в виде лин. комб. остальных. Любая совокупность 3-х лин. независ. в. в пр-ве наз. базисом этого пр-ва. (А=х1*е1+х2*е2+х3*е3). Декартова система координат в пр-ве: правый ортонормированный базис. e⁰₁=e₁/|e₁|, e⁰₂=e₂/|e₂|, e⁰₃=e₃/|e₃|.

Проекцией в. на ось есть произвед. его модуля на косинус угла наклона в. к этой оси. A=Ax*i+Ay*j+Az*k – разложение в. А на компоненты по осям (Ax *i …. – компоненты). Чтобы получить коорд. в. надо из коорд. его начала вычесть коорд. его конца. Т1. Пр е (А+В)=Пр е А + Пр е В. Т2. Пр е (А)= Пр е А.

Скалярное произвед. в.: А*В=|A|*|B|*cos.(по опред.) Если хотя бы один из в. равен 0, то ск. произв. Тоже равно 0. Если А=В, то ск. пр. А*А=|A²|. Св-ва: 1. А*В=В*А 2. (А+В)*С=А*С+В*С 3. (А)*В=(А*В)=(В)*А 4. Геометр. Смысл: Пр _В ^А = А*В⁰.

Т. Чтобы 2 ненул. в. были ортогональны необх. и дост. Чтоб их ск. произв. Было равно 0. А0 В0 |А|*|В|*cos=0  cos=0=0. А*В=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz.

Вект. произвед.: С=АхВ. |C|=|A|*|B|*sin. CА, СВ. A,B,C – правая тройка в. Св-ва: АхВ=-ВхА. 2. (АхВ)=(А)хВ=Ах(В).

Т. Чтобы в были коллинеарны необх. и дост. чтобы их в произв. было равно 0.: Достат.: А0 В0  sin=0  =0 или =180. Необх.: допустим, что в. коллин.  =k  AxB=0. Замеч. Пусть А(Ах,Ау,Az) B(Bx,By,Bz). А=В(0). (Ах-Вх)i+(Ay-Bx)j+(Az-Bz)k=0 т.к. ijk0  Ax/Bx=Ay/By=Az/Bz – усл. Коллин. в. в коорд. форме.

Смеш. Произвед. в.: А,B,C0. A*(BxC). Св-ва: А*(ВхС)=В*(СхА)=С*(АхВ) 2. Vпар=(BxC)*Пр _ВхС А

Для того чтоб 3 ненул. в. были кампланарны необх. и дост. чтоб их смеш. Произвед. было равно 0. Дост.: 1) допуст. BxC0  A(BxC) это означает что в. А леж. В одной пл-ти с в. В и С. 2) ВхС=0  вектора В и С коллинеарны, а тогда в. А,В,С кампланарны.

Матрица – мат. объект имеющ. вид таблицы. Св-ва: 1) Матрицы равны если равны их элементы с соответствующими индексами. 2) С=А  каждый элемент матрицы умнож на . 3) Склад. Только те м. У кот. Одинаков. Размер. 4) Произвед: левая рука по строке, правая по столбцу. Толко если А(m*а) и B(b*n) a=b и новая матрица будет иметь размер m*n. Св-ва: А*ВВ*А (не всегда).

Матрица А^-1 наз. квадратной если А^-1*А=А*А^-1=Е (един. Матрица). Т.: Для того чтоб у матрицы А сущ. Обратная необх и дост. чтоб detA0. Необх.: Допустим, что сущ. Обратная матрица  А^-1*А=А*А^-1=Е  det(A^-1*А)=det(A*A^-1)=detE=1 detA^-1*detA0  detA0 Достат.: где Aij – алгебр. Дополнения м. А. Допустим detA0 Докажем, что в этом случае В=А^-1 т.е. А*В=В*А=Е.

Транспонированная м. – это такая м. кот. получ. Из м. А когда мы меняем местами строки и столбцы Ат имеет размер (m*n) A(n*m). М. А наз. симметрической если Ат=А. DetA=detAт. (А*В)т=Вт*Ат.

Квадратная м. А наз. ортогональной если для неё вып. Усл. А^-1=А^т. Т1.: Определитель ортог. м. равен 1. Док-во: Ат*А=Е т.к.det(A*B)=detA*detB detAт*detA=detE=1, но detA=detAт detA²=1  detA=1. Т.2: Если м. А ортогональна, то сумма попарных произвед. элементов 2 каких-либо различных строк или столбцов равна 0. А сумма квадратов элементов любых строк или столбцов =1. Доказ для n=3.

Элемент. Преобр. М.:1. Перестановка 2 строк местами 2. Умнож. Любой строки на конст. 3. Прибавление к любой строке другой строки умнож. На конст. Преобр. М. наз эквивалентной. Ранг М.: Опред. Стоящ. На пересеч. Любых К строк и К столбцов наз. м инором к-го порядка. Опр.: Наивысш. Порядок минора 0 наз. рангом данной М.

Формулы Крамера: =a11a22a33+a21a32a13+a31a23a12-a13a22a31-a23a32a11-a33a21a12

A *X=B , тогда решение этой системы будет матричное уравнение вида X=A^-1*B – это и есть формулы Крамера.

Метод Гаусса – нисходящий ход. Записываем расшир. М. коэффициентов. Организовать нули под главной диагональю. Тогда Ann=bn. Затем вып. Восход. Ход. Если m=n r(A)=r(Ap) => единств. Решение. Если m<n r(A)=r(Ap) бесчисл. Множ. Решений. Если r(A)<r(Ap) – несовместна. Т. Кронкера-Капелли: СЛАУ совместна только тогда, когда ранг М. коэфф. Этой сист. Совпад. С рангом её расшир. М. Необх.: Если сист. Совместна, то запис. Её в векторной форме делаем вывод, что сущ. Такие знач. Неизв. x1..хn для кот. а1х1+а2х2+..+anxn=b, где аi – столбцы матрицы, а b – столбец свободных членов. Это означ., что столб. В явл. Лин. комбинацией всех ост. Столб. Выберем какой-либо базисный минор напр. чтоб содерж строки и столбцы с номер от 1 до к. Т.к. столбцы базисного минора лин. независимы, в то время как для каждого j>k сущ. такие ijR где i от 1 до к., что аij=1ja1+…+ kjak. Поэтому столбец b=a1x1+..akxk+ak+1xk+1+…+anxn=a1x1+…+akxk+(1,k+1*a1+…+k,k+1*ak)*xk+1+..+(1na1+..+knak)xn. Явл. Лин. комб. базисных столбцов М. А. Это означ. Что минор М является также базисным минором в расшир. Матрице (т.к. он ненулевой и если взять какой-либо окаймляющ. M’, то он будет либо минором М. А, либо будет содержать столбец b и  не может быть ненулевым, т.к. его столбцы лин. зависимы.) Поэтому r(A)=r(Ap). Достат.: Пусть r(A)=r(Ap). Выберем в А базисный минор М. Тогда он будет базисным в Ар. Значит столбец b можно представить как лин. комб. базисных столбцов а1…ак.: b=x⁰₁a1+…+x⁰_kak Полагая x⁰_k+1= x⁰_k+2= x⁰_n=0 получаем реш. x⁰₁… x⁰_n исходной СЛАУ поскольку b=x⁰₁a1+…+x⁰_kak= x⁰₁а1+…+ x⁰₁аk+0*а1+…+0*an ч.т.д.

Линейное пространство: Опр.: Некое множество L наз. линейным пр-вом если для xL & yL & =const: 1)опред. Элемент кот. обознач. х+у и наз. суммой элементов х и у, такой, что этот элемент также L 2) опред. Элемент х наз. произвед. элем. Х не число , хL 3)В пр-ве L опред. Понятие равенства эллементов с помощью знака «=». Указ. Операции облад. След. Св-вами: . X+Y=Y+X  (x+y)+z=x+(y+z) . (x)=()х . (ХХ . ( . 0 т.е. х+0=х . Для хL: 1*x=x*1=x . хL  (-x) кот. наз. противоположным и х+(-х)=0. Св-ва Л.П.:1) Во всяко Л.П. сущ единств. Нулевой элемент. 2) Для всех =const *0=0 3) для хL: 0*x=0 4) для х  (-х) – единственный. 5) –х=-1*х

Если в. е1,е2…еn пр-ва L наз. базисом Л.П. если любой из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных в. х: х=x1l1+x2l2+..+xnln, где l1,l2,ln – базис. х1,х2,xn – коорд. в. х в базисе. Такое представл. В. наз. разлож. По базису. Теорема: Коорд. в. х относительно данного базиса е1,е2,..еn пр-ва L опред. однозначно. Доказ.: Пусть в. х=x1e1+x2e2+..+xnen. Допустим, что сущ другое разложение х=x1’e1+x2’e2+..+xn’en Вычтем почленно: (x1-x1’)e1+(x2-x2’)e2+..+(xn-xn’)en=0, т.к. базисные в. 0  х1=x1’, xn=xn’.

Подпространство Л.П.: Множество неких элементов из пр-ва Ln наз. Подпространством этого пр-ва если это множ-во само явл Л.П. Lm & Ln где m<n. Облад. Св-вами Л.П.

Евклид. Пр-вом наз всякое пр-во вдля кот. всяки эл-там х,уEn можно поставить в соответствие число, кот. наз. скалярным произведением. Св-ва скал. Произвед: 1) (x,y)=(y,x) 2) (x+y,z)=(x,z)+(y,z) 3) (x,y)=(x,y) 4) (x,x)0 (x,x)=0  x=0. Евклид. Пр-во En наз. Гильбертовым, если оно безразмерно. Модулем эл-та наз. (х,х)=|x|. a*b=|a|*|b|*cos.

Нер-во К.-Б.: Допустим, что |(x,y)||x|*|y| Док-во: Рассмотрим (x-y, x-y)=0=(x, x-y)-(y, x-y)=*(x,x)-(x,y)-(y,x)+(y,y) Исп. Св-во коммутативн. *(x,x)-2(x,y)+(y,y)0 D=4(x,y)*(x,y)-4(x,x)(y,y)0 (x,y)* (x,y)=x*x*y*y => | (x,y)||x|*|y|.

Нер-во треуг-а: x,yEn Доустим.: |x+y||x|+|y| Док-во: (x+y, x+y)=| x+y|* |x+y|=(x, x+y)+(y, x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)=|x|*|x|+2(x,y)+|y|*|y||x|*|x|+2|x|*|y|+|y|*|y|=(|x|+|y|)*(|x|+|y|) При док-ве применялось нер-во Коши-Буняковского.

Л.П. L наз. метрическим, если для любых элементов этого пр-ва введено понятие расстояния между ними (x,y)0 кот. удовлетвор. След. Св-вам: 1) (х,х)=0 2) (x,y)= (y,z) симметрия 3) (x,z) (x,y)+ (y,z). Л.П. L наз. нормирванным если для любого xL введ. Понятие нормы этого эл-та. Норма – это некое положительное число удовлетвор. След. Св-вам: 1) ||0||=0 2) ||x+y||||x||+||y|| Если xEn, в кач-ве нормы можно взять |x|=||x||. Норма не облад. Св-вами единств. Норм. Пр-во явл. метрическим.

Угол между векторами в En: x,yEn. Понятие ввод. Абстрактно. Опр.1: cos=(x,y)/|x|*|y| Принимая во вниманиенер-во К.-Б. Нетрудно заметить, что cos1 [0;]. Опр.2: 2 эл-та En наз. ортогональнями если =/2 (x^y)=0.

Возмём в En некий базис e1…en. Если любые 2 в. этого базиса ортогональны, то этот базис ортогонален. (ei,ej)=0 ij. Базисные в. ортогонального базиса можно пронормировать: E⁰i=ei/|ei|. Если все баз. В. единичны и , то такой базис наз. ортонормированным. Замеч.: т.к. (e⁰i,e⁰j)={1 if i=j; 0 if ij} Если базис ортонорм. То в. x=x1 e⁰1+x2 e⁰2+..+xn e⁰n. (e⁰i,e⁰i)=1 => (x, e⁰i)=xi.

Если в силу некоторого правила всякому эл-ту х ставится элем. у, то говорят что в это пр-ве задан линейный оператор. И при это пишут у=Ах. Оператор А наз. линейным если: 1) А(х+у)=Ах+Ау 2) (Ах)=(Ах) T. y=y1e1+y2e2+…+ynen; x=x1e1+x2e2+…+xnen; Ax=x1Ae1+x2Ae2+…+xnAen т.к. AeiEn то его можно разложить по данному базису. Т.е. Аеi=a1ie1+a2ie2+…+anien  Ax=x1(a11e1+a21e2+…+an1en)+x2(….)+…+xn(…)=(a11x1+a12x2+…+a1nxn)e1+(a21x1+a22x2+…+a2nxn)e2+…+(an1x1+an2x2+…+annxn)en т.к. мы рассматр. Лин. преобр. То Аx=y1e1+y2e2+ynen т.к. базисн. В. лин. независ. то это рав-во возм лишь тогда, когда совпад. Коэфф. Т.е. y1=a11x1+a12x2+…+a1nxn; yn= an1x1+an2x2+…+annxn (*), тогда xx=(x1,x2,..,xn)т yy=(y1,y2,..yn) Введём в рассмотр. М. А., тогда соотнош. (*) можно записать так Y=AX это соотн. Соотв. Лин. преобр. y=Ax c лин. оператором А. М.А – матрица Л.О. А. Её столбцами явл. Коорд. векторов Аеi вычисл. Относит. Данного базиса. Если detA0, то сущ. обратное преобразование!

Действия над Л.О.: 1) Сложение А+В=С эти св-ва эквив. Св-вам слож. Матриц. 2) С=А 3)Если y=Bx z=Ay, то z=A(Bx).

М. Поворота.: Разложим в. х в Эвклид. Пр-ве Е3 по 2-м базисам: x=x1e1+x2e2+x3e3 (1); x=x1’1+x2’2+x3’3 (2) Тогда базис  имеет вполне опред. коорд. относит . старого базиса. Подставив Сист. В соотн. (2) получим новую сист. И обозначим: X=(x1,x2,x3)т; X’=(x1’,x2’,x3’)т, тогда очевидно, что X=TX’. Т – матрица преобразования коорд.

При переходе от одного ортонормированного базиса к другому. i*j={1, если i=j; 0 если ij} коорд. базисных векторов i (1i, 2i, 3i) j (1j, 2j, 3). Тогда 1i+1j+2i+2j+3i+3j=0. Матрица преобраз. коорд. от одного ортонорм. Базиса к др. явл. ортогональной и наоборот T^-1=T^T.

Пусть в Еn задан Л.О. такой что y=Ax и пусть мы переходим от базиса е1,е2,е3  1, 2, 3 и они ортонормированные. Т.к. Y=TY’ X=TX’ Y=AX, подставляя эти соотн. Получим: TY’=ATX’ умножив обе части на Т^-1 получим Т^-1Т Y= Т^-1 A T X’  Y’= Т^-1 A T X’

Пусть y=Ax в Еn. Опр.1: А* наз. сопряженным по отнош. К А если А*=Ат. Св-ва: 1)E*=E 2)(A+B)*=A*+B* 3)(АВ)*=B* A* 4) (A^-1)*=(A*)^-1. Опр.2: А* наз. самосопряженным по отнош. К А если А=А*. Св-ва: 1) (A*+B*)=A+B 2) (AB)*=B* A*=BA

xEn и пусть относит. Некот. Базиса рассм. Л.О А. Опр.1: Некое подпр-во Е1En наз. инвариантным по отнош. к Л.О. А если для хЕ1 оказ., что AxE1 Опр.2: х0 и хЕn наз. собств. В. Л.О. А если Ах=х где =const. Очевидно, что множ собств. В. представл. Собой инвар. Подпр-во.! Множ. Всех в. y=Ax где хEn наз. обл. знач. Л.О. А. Множ. Всех в. хЕ1En так что Ах=0 наз. ядром Л.О.

Пусть х – собственный в. Л.О. А т.е. Ах=х (1) Если А – матрица Л.О. А. Х – Матрица столбец х, то соотн. (1) соотв. Такое матр. Рав-во. А*Х=*Х  (А-Е)х=0 (2) Соотн. (2) – лин. однородная сист. Распис. В матр. Виде. нас интерес. Ненул. решения. Оно сущ. когда det(A-E)=0 (3) – (Характеристическое уравнение) где 1, 2, n – корни сист. Явл. собственными числами или собств. Знач. Л.О. Св-ва: 1) Л.О. А относит. Любого базиса имеет один и тот же набор целых чисел. 1, 2, n – Спектр Л.О. 2) detA=1* 2*…* n 3) 1+ 2+…+ n=trA (след. Матр. А) trA=(def)=a11+a22+…+ann. Для нахожд. Собств. В. остаётся подставить найденные собств. Числа 1, 2, n в систему (A-E)*X=0 и решив его Найдём соотв. В. x1,x2,xn.

Рассм. Самосопр. Л.О. А в вещественном пр-ве En. Т1.: В вещ. Евкл. Пр-ве Еn самосопр. Л.О. А имеет вещ. Собств. Числа. Т2.: 2 различных собств. В. самосопр. Л.О. А ортогональны. Док-во: Пусть х1 – собств. В. Л.О А соотв. Собств. Числу. 1. х2  2. Ах1=1х1; Ах2=2х2. Рассм. Скал. Произведение (Ах1,x2)= (1x1,x2)= 1(x1,x2) и (х1,Ax2)= (x1,2x2)= 2(x1,x2) т.к. Л.О. А самосопр., то (Аx1,x2)=(x1,Ax2) => (1-2)*(x1,x2)=0 т.к. 12 то (x1,x2)=0 это означает, что х1 х2 ортогональны. Заметим, т.к. вектора самосопр. Л.О. попарно ортогональны, то их можно принять за базис Л.П. Останется только пронормировать. Т3.: В базисе из собств. В. самосопр. Л.О. А имеет диагональную матрицу. А=diag(1, 2, 3); Док-во: Пусть А – самосопр. Л.О. x1,x2,x3  1, 2, 3. Положим е1=х1 => Ае1=1е1 … е3=х3 => Ае3=3е3. Матрица Л.О. А формируется так: её столбцами явл. коэфф. векторов Аеi в выбранном базисе.

Квадратичной формой, завис. От n переменных наз. сумма попарных произвед этих переменных. Для n=3 Ф(x,y,z)=a11x*x+a12xy+a13xz+a21yx+a22y*y+a23yz+a31zx+a32zy +a33z*z; Введём в рассм. След. Матрицы.: где А – матрица квадратичной формы. Ф(x,y,z)=Xт*А*Х, если матрица канонич. Формы, то она имеет канонич. Вид. Вспомним преобр. к-т: Х=Т*Х^-1. В кач-ве Т возьмём матрицу столбцами кот. явл. собств. Векторы матрицы А: Хт*А*Х=(Т*Х’)*А*Т*Х=Х’т*Тт*А*Т*Х’ => Ф(x,y,z)=X’т*В*Х’ где В=Тт*А*Т т.к. А – матрица симметрическая, то очевидно что а базисе из собств. векторов эта матрица будут стоять собств. числа этой матрицы.

Теория квадратичных форм исп. Для упрощения уравнений кривых и пов-тей 2-го порядка.

Логич. Символы и операторы наз. кванторами. => - следование. <=> - эквивалентность.  - существование (existence).  - Общность (Any). « : » - Имеет место.  - Дизъюнкция (Логич. Сложение ( припис. Истиное знач. Если верно хотя бы одно утверждение)).  - Конъюнкция, логич. Умножение ( - истино если оба утверждения истины). -отрицание. Говорят, что усл. Р необходимо для вып. Усл. Q, если из невып. Усл. P след. Невып. Усл. Q. Говорят что усл. P достаточно для вып. Усл. Q если из вып. Усл. P вытекает вып. Усл .Q.

Множество – совокупность неких объектов объед. Опред. признаками. Пустое множ-во  явл. подмнож. Любого множ.  - включ. Для множ-в.  - для эл-тов множ. 1) С=А+В или С=АВ – сложение множ. 2) С=А*В или С=АВ Пересеч. Множ-в 3) С=А-В исключ. Элем. множ. 4) Рав- во множ. А=В  (АВВА).

Вещ. Числа R. Рациональные и иррациональные. Каждому числу соотв. Одна точка. Расшир. Числовая ось – ось дополн. Несобств. Знач. . Модуль - |x|={x, if x0; -x if x<0} (definition). Св-ва: 1) -|a|a|a| 2) |a+b||a|+|b| 3) |a| -a 4) |a*b|=|a||b| 5) |a/b|=|a|/|b| 6) singX={+1 if x0; -1 if x0} |x|=x*signx