37. Метод безусловного покоординатного спуска.

Итерационный процесс этого метода описывается формулой (1)

Шаг выбирается одним из 3-х способов:

1) постоянный шаг для каждой итерации;

2) дробление шага (применяется когда не выполняется условие релаксации . Тогда шаг дробят одним из 2-х способов:

или

3) метод найскорейшего спуска

(2)

Направление выбирается вдоль координатных осей, причем сначала берут положительное направление оси. В пределах одной итерации будем осуществлять следующее: имеется точка и шаг , известны (наперед заданы). Вычисляем пробную точку , вектор - выбирают вдоль координатных осей, т.е. состоящий из нулей, а на месте стоит 1 - .

Если условие релаксации для такого не выполняется, то строят след. пробную точку, для кот. направление перехода будет . Если и для такого не выполняется условие релаксации, то выбираем направление движения вдоль другой координатной оси. Процедура повторяется до выполнения условия релаксации. Тогда .

39. Метод условного градиетна.

Рассмотрим задачу (1)

Для задачи условной оптимизации (1), где Х – выпуклое замкнутое мн-во, f(x) – выпуклая дифференцируемая на мн-ве Х ф-ция.

Пусть - -тое приближение к точке , причем .

Идея метода: из матана известно, что

Заменим , тогда - функция, линейная по х, кот. заменяет нелинейную ф-цию .

Тогда решается задача минимизации линейной ф-ции на мн-ве Х

(2)

Решая которую получим пробную точку . Задача (2) – задача лин программирования, если Х задается системой линейных равенств или неравенств, то её можно решить симплекс-методом либо графически, если .

Направление перехода от точки к точке вычисляется по формуле . Шаг можно выбрать одним из трёх способов.

43. Общая постановка задачи дп. Принцип оптимальности Беллмана.

Динамическое программирование(ДП) (планирование)- выч-ый метод реш. задач нелин. прогр-я и оптим. управл-ия, мат. модели которых имеют многошаговый хар-тер. Впервые систематически стал применяться Беллманом с нач. 50-х г. XX в.

Формулировка задачи: имеется некоторая управляемая физ-кая система S, хар-ся опред-ым набором параметров. В этой системе происходят некоторые процессы: эконом-кие, производственные, кот. можно представить как многошаговые дискретные. На каждом шаге процессам соотв-ют определённые значения параметров, описывающих состояние системы. Заданы условия, позволяющие определять или начальное, или конечное состояния системы, или оба этих состояния. Поскольку управление системой осущ-ся для достижения определ-ой цели, то указан показатель эффект-сти управления, называемый целевой ф-цией, численно выражающий эффект (выигрыш), получаемый при том или ином управлении из мн-ва допустимых управлений. В экономических системах целевая ф-ция может определять прибыль, затраты, рентабельность, объём пр-ва и т.д. Задача ДП состоит в выборе из мн-ва допустимых управлений такого, кот. переводит систему из нач. состояния в конечное, обеспечивая при этом экстремум целевой ф-ции (минимум или максимум в зависимости от её экономической сути). Такое управление наз. оптимальным.

В основе алгоритма ДП лежит принцип оптимальности Беллмана: каково бы ни было состояние системы S, в результате (i-1) шагов, управление на i-том шаге должно выбираться так, чтобы оно в совокупности с управлением на всех последующих шагах, начиная с (i+1)-го до N-го включительно, доставляло экстремум целевой ф-ции.

Введём след. обозначения:

- мн-во состояний, в которых система S может ноходится перед i-м шагом(элементы этого мн-ва находятся из условий конкретной задачи); при i=1 получается мн-во нач. состояний, кот. может состоять из одного или нескольких элементов; тоже можно сказать и о мн-ве конечных состояний;

- мн-во состояний в конце i-го шага;

- мн-во управлений, которые могут быть выбраны на i-м шаге и под воздействием каждого из них система S переходит в одно из состояний ; элементы мн-ва опред. из условия задачи.

- условно оптимальное значение целевой ф-ции на интервале от i-го шага до N-го включительно при условии, что перед i-м шагом система S нах-ся в одном из состояний мн-ва , а на i-м шаге было выбрано такое управление из мн-ва , которое обеспечивало целевой ф-ции условно оптимальное значение;

- знач. целевой ф-ции на i-м шаге для всех управлений из мн-ва при условии, что перед i-м шагом система S нах-ся в одном из состояний ;

- условно оптимальное значение целевой ф-ции на интервале от (i+1)-го шага до N-го включительно при условии, что в результате воздействия управления, выбранного из мн-ва , система S на i-м шаге перейдёт к концу шага из состояния, принадлежащего мн-ву , в состояние из мн-ва .

Принцип Беллмана можно записать след. образом:

(1)

Р-во (1) наз. основным функциональным ур-ем ДП. Для последнего N шага ур-е (1) принимает вид:

Поскольку ф-ция определена только для i=1..N-1, то второе слагаемое в правой части можно положить равным 0. В результате получим

(2)

Если рассматривается система без последействия, то её состояние в конце i-го шага будет отвечать одному из состояний мн-ва и зависит как от состояния системы S на начало шага, которое хар-сь соотв. эл-том из мн-ва , так и от управления, выбранного из мн-ва Эту зависимость можно записать в след. форме: (3)

Метод ДП распадается на два этапа: условную и безусловную оптимизацию. Усл. опт-я осущ. путём «попятного» движения от последнего шага к первому. С помощью ур-я (2) для каждого состояния мн-ва нах-ся такое управление из мн-ва , при котором ф-ция достигает экстремума и система S переходит в заданное конечное состояние. Т.о., для каждого состояния из мн-ва находится условно-оптимальное значение целевой ф-ции и соотв. условно-оптимальное управление. Продолжая описанную процедуру, достигаем 1-го шага. В результате получится пос-ть мн-в условно оптимальных управлений системой S, кот. в конкретных задачах может быть представлена посл-тью таблиц.

Для определения безусловно-оптимального управления системой S при заданном ее нач. состоянии анализируем выполненные расчеты, перемещаясь по оптимизируемому N-шаговому процессу в прямом направлении: от 1-го шага к последнему. Эта часть рассуждений наз. безусловной оптимизацией. Безусловно-оптимальное значение целевой ф-ции для всего N- шагового процесса Искомое оптимальное управление можно записать в виде вектора