31. Задача одномерной оптимизации. Метод деления отрезка пополам.

Задача одномерной минимизации имеет вид

(1).

Метод деления отрезка пополам основывается на понятии унимодальной ф-ции.

Опр.1 Непрерывную функцию наз. унимодальной, если , что слева от нее функция убывает, а справа от неё возрастает, т.е. :

- на рисунке унимодальная ф-ция

Опр.2 Непрерывную функцию наз. строго унимодальной, если , что :

1. 

2. 

Т.о. у строго унимодальной функции может быть только одна точка, у нестрого унимодальной – целые отрезки.

Далее будем строить методы, кот. позволяют найти одну точку минимума для любой унимодальной ф-ции.

В озьмем любые две точки

1. . Тогда в силу унимодальности функции на отрезке функция не может достигать своего минимума, тогда отрезок поиска сужается до отрезка . (Рис.2)

2. , то отрезок поиска

сужается до отрезка (Рис.3)

3. . Отрезок поиска сужается до отрезка . (Рис.4)

Такую идею поиска точки минимума использует 2 метода: метод деления отрезка пополам и метод «золотого сечения». Они отличаются только способами выбора точек и .

Алгоритм метода деления отрезка пополам.

1. Выбираем параметры метода .

2. Вычисляем пробные точки .

3. Вычисляем значения целевой функции в точках .

Если , то ;

если , то ;

если , то

4. Если выполняется условие остановки , то точка минимума с точностью .

5. Если условие остановки не выполняется, то k=k+1 и переходим на шаг 2.

33. Задача одномерной оптимизации. Метод ломаных

Задача одномерной минимизации имеет вид

(1).

Метод применяется для задачи (1) при условии, что f(x) удовлетворяет условию Липшица.

_Опр. Говорят, что функция f(x) , удовлетворяет условию Липшица с константой L, если нер-во ,

Метод состоит в последовательной аппроксимации снизу ф-ции f(x) кусочно-линейными ф-циями Рассмотрим ф-цию . Точка определяет два луча, симметричных относительно прямой, проходящей через и перпендикулярной отрезку .

Алгоритм метода ломанных:

1. Задаем параметры метода причем

2. Выбираем начальную точку (либо правый, либо левый конец отрезка )

3. Строим ломанную

4. Строим общую ломанную, т.е. кусочно-непрер. ф-цию

5. Точку ищем как решение задачи (другая запись)

6. Проверяем условие остановки Если оно выполняется, то - точка минимума с точностью , иначе k=k+1 и переход на шаг 3. Покажем, что функция апроксимирует ф-цию f(x) всегда снизу. Для этого достаточно показать, что .

Т.к. то по опред. ф-ции имеем

Как найти L? Для нахождения константы Липшица можно воспользоваться утверждением.

Утв1. Пусть функция f(x) дифференцируема и ограничена. Тогда удовлетворяет усл. Липшица с константой

Пример.