27. Выпуклые функции и их свойства. Унимодальные функции.

Опр.1 Множество наз. выпуклым, если выполняется равенство .

Опр. 2 Функция наз. выпуклой на множестве , если .

Опр. 3 Функция наз. строго выпуклой, если

Опр.4 Функция наз. сильно выпуклой на множестве X, если , неравенство .

На практике этими определениями не пользуются, а используются следующие утверждения.

Утв.1 Функция определенная на выпуклом множестве является выпуклой т. и т.т., когда ее надграфик

является выпуклым множеством.

_Утв.2 Функция является выпуклой т. и т.т., когда выполняется неравенство

.

Утв.3 Пусть . Функция является строго выпуклой т. и т.т., когда ,

.

Напр., ф-ция явл. выпуклой, но не строго выпуклой, а ф-ция явл. строго выпуклой.

Утв.4 Пусть , Х – выпуклое мн-во. Ф-ция явл. выпуклой т. и т.т., когда

Утв.5 Пусть - выпуклое множество. Функция является строго выпуклой т. и т.т., когда

.

Утв.6 Пусть - выпуклое множество. Функция является сильно выпуклой функцией, когда -вектор , что .

Свойства выпуклых функций:

1. Пусть – выпуклые ф-ции, тогда их лин. комбинация явл. выпуклой ф-цией

2. Пусть – выпуклые функции, тогда функция является выпуклой функцией.

3. Если –выпуклая функция, -вогнутая функция.

4. Пусть ф-ция определена и непрерывна на выпуклых компактных мн-вах и ф-ция выпуклая по и вогнутая по , тогда сущ. такая пара , ( так называемая седловая точка ф-ции ), что вып. условие

и справедлива теорема о минимаксе

.

5. Пусть функция является выпуклой, тогда множество является выпуклым или пустым.

Опр.1 Непрерывную функцию наз. унимодальной, если , что слева от нее функция убывает, а справа от неё возрастает, т.е. :

1. 

2. 

29. Необходимое условие оптимальности в задаче выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера.

, (1) - основная задача выпуклого программирования, где - выпуклые функции, - выпуклое множество .

Пусть мн-во и ф-ции .

_Опр.1 Пару наз. седловой точкой функции Лагранжа, если выполняется условие

(2).

Опр.2 Мн-во допустимых значений задачи (1) наз. регулярным, если существует такая точка , что

.

Теорема1(необходимое условие оптимальности). Если точка минимума задачи (1) с регулярным мн-вом допустимых точек, то существует - вектор и - вектор , что выполняются условия: 1) стационарности ; 2) дополняющей нежесткости , .

Покажем что выполнение условий 1)-2) достаточно, чтобы существовала седловая точка . Рассмотрим функцию Лагранжа , при представляет собой линейную комбинацию выпуклых функций . Поскольку , то согласно утверждению 2)

Это же нер-во при имеет вид

(т.к. 0, ), значит .

Доказали правую часть определения седловой точки. Возьмем

( ).

Доказали левую часть нер-ва (2), зн. - седловая точка ф-ции Лагранжа.

Т.о. Т1 переформулируем так:

Теорема2. Если - точка минимума задачи (1) с регулярным множеством допустимых значений, то существует седловая точка функции Лагранжа, причем выполняется условие дополняющей нежесткости .

Теорема Куна-Таккера. Для того, чтобы в задаче (1) с регулярным множеством допустимых значений существовала точка минимума необходимо и достаточно, чтобы существовала седловая точка , функции Лагранжа, при этом выполняется условие дополняющей нежесткости .